《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

10. 已知双曲线$E:\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{5}=1$.
（1）若$m = 4$，求双曲线$E$的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
（2）若双曲线$E$的离心率$e\in(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2})$，求实数$m$的取值范围.

答案： 解 （1）当$m = 4$时，双曲线方程为$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$，$\therefore a = 2$，$b=\sqrt{5}$，$c = 3$，$\therefore$焦点坐标为$(-3,0)$，$(3,0)$，顶点坐标为$(-2,0)$，$(2,0)$，渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x$.
（2）$\because e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{m + 5}{m}=1+\frac{5}{m}$，$e\in(\frac{\sqrt{6}}{2},\sqrt{2})$，$\therefore\frac{3}{2}＜1+\frac{5}{m}＜2$，解得$5＜m＜10$，$\therefore$实数$m$的取值范围是$(5,10)$.

11. 已知双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1},F_{2}$，点$P$在双曲线的右支上，且$|PF_{1}| = 3|PF_{2}|$，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A. $(1,4]$
B. $[4,+\infty)$
C. $(1,2]$
D. $[2,+\infty)$

答案： C 因为$|PF_{1}|-|PF_{2}|=2a$，$|PF_{1}|=3|PF_{2}|$，所以$|PF_{1}|=3a$，$|PF_{2}|=a$，又$|PF_{2}|\geqslant c - a$，即$a\geqslant c - a$，$\frac{c}{a}\leqslant2$，所以离心率$e\in(1,2]$.

12.（多选）已知双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=m^{2}(m\neq0)$，则不因$m$的值改变而改变的是 （ ）
A. 焦距
B. 离心率
C. 顶点坐标
D. 渐近线方程

答案： BD $\because$双曲线$\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=m^{2}(m\neq0)$，$\therefore\frac{x^{2}}{3m^{2}}-\frac{y^{2}}{m^{2}}=1$，$c = 2\sqrt{m^{2}}$.该双曲线的焦距为$4\sqrt{m^{2}}$，离心率为$\frac{2\sqrt{m^{2}}}{\sqrt{3m^{2}}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，顶点坐标为$(\sqrt{3m^{2}},0)$和$(-\sqrt{3m^{2}},0)$，渐近线方程为$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$，则不因$m$的值改变而改变的是离心率与渐近线方程.

13. 已知$O$为坐标原点，双曲线$E:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的渐近线为菱形$OABC$的边$OA,OC$所在的直线，点$B(2,0)$为双曲线的焦点，若$\angle AOC = 120^{\circ}$，则双曲线的方程为________________.

答案： $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
解析 不妨设$A$在第一象限. 由题意知，$OA$所在直线的倾斜角为$\angle AOC$的一半，即$\angle AOB = 60^{\circ}$，故$\frac{b}{a}=\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$，又点$B(2,0)$为双曲线的焦点，所以$a^{2}+b^{2}=4\Rightarrow4a^{2}=4\Rightarrow a = 1$，故$b=\sqrt{3}$. 所以双曲线的方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.

14. 已知$P$是分别以$F_{1},F_{2}$为左、右焦点的双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$上的一点，且$\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}} = 0$，$|\overrightarrow{PF_{1}}| = 2|\overrightarrow{PF_{2}}|$.
（1）求双曲线的离心率$e$；
（2）过点$P$作直线分别与双曲线的两条渐近线相交于$P_{1},P_{2}$两点，若$\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}} = -\frac{27}{4}$（$O$为坐标原点），$2\overrightarrow{PP_{1}}+\overrightarrow{PP_{2}} = 0$，求双曲线的标准方程.

答案： 解 （1）不妨设点$P$在第一象限.$\because|\overrightarrow{PF_{1}}|=2|\overrightarrow{PF_{2}}|$，$|\overrightarrow{PF_{1}}|-|\overrightarrow{PF_{2}}|=2a$，$\therefore|\overrightarrow{PF_{1}}|=4a$，$|\overrightarrow{PF_{2}}|=2a$.$\because\overrightarrow{PF_{1}}\cdot\overrightarrow{PF_{2}}=0$，$\therefore(4a)^{2}+(2a)^{2}=(2c)^{2}$，$\therefore e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}$.
（2）由（1），知双曲线的方程可设为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4a^{2}}=1$，渐近线方程为$y=\pm2x$.不妨设$P_{1}(x_{1},2x_{1})$，$P_{2}(x_{2},-2x_{2})$，$P(x,y)$.$\because\overrightarrow{OP_{1}}\cdot\overrightarrow{OP_{2}}=-3x_{1}x_{2}=-\frac{27}{4}$，$\therefore x_{1}x_{2}=\frac{9}{4}$.$\because2\overrightarrow{PP_{1}}+\overrightarrow{PP_{2}}=\boldsymbol{0}$，$\therefore\begin{cases}x=\frac{2x_{1}+x_{2}}{3}\\y=\frac{2(2x_{1}-x_{2})}{3}\end{cases}$，$\because$点$P$在双曲线上，$\therefore\frac{(2x_{1}+x_{2})^{2}}{9a^{2}}-\frac{(2x_{1}-x_{2})^{2}}{9a^{2}}=1$，化简得$x_{1}x_{2}=\frac{9a^{2}}{8}$，$\therefore\frac{9a^{2}}{8}=\frac{9}{4}$，$\therefore a^{2}=2$，$\therefore$双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$.

15.（文化情境命题）青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一. 如图是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面. 若某青花瓷花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为 （ ）

A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{21}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{7}}{2}$

答案：
C 由题意作出轴截面如图，$M$点是双曲线与截面正方形的交点之一.设双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，最小瓶身直径为$A_{1}A_{2}=2a$，则由已知可得$M$是双曲线上的点，且$M$的坐标为$(2a,2a)$，故$\frac{(2a)^{2}}{a^{2}}-\frac{(2a)^{2}}{b^{2}}=1$，整理得$4a^{2}=3b^{2}=3(c^{2}-a^{2})$，化简后得$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{7}{3}$，解得$e=\frac{\sqrt{21}}{3}$.