《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

14. 已知$\triangle ABC$的顶点$A(3,1)$，$AB$边上的高$CE$所在直线的方程为$x + 3y - 5 = 0$，$AC$边上的中线$BD$所在直线的方程为$x + y - 4 = 0$.
（1）求直线$AB$的方程；
（2）求点$C$的坐标.

答案： 解　
(1)
∵CE⊥AB,且直线CE的斜率为−$\frac{1}{3}$,
∴直线AB的斜率为3,
∴直线AB的方程为y−1=3(x−3),即3x−y−8=0.
(2)设D(a,b),由D为AC中点可得C(2a−3,2b−1),
∴$\begin{cases}2a - 3 + 3(2b - 1)-5 = 0\\a + b - 4 = 0\end{cases}$,解得$\begin{cases}a=\frac{13}{4}\\b=\frac{3}{4}\end{cases}$,
∴C($\frac{7}{2}$,$\frac{1}{2}$).

15. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形$OABC$的长为3，宽为2，边$OA$，$OC$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，$O$为坐标原点.
（1）求$OB$所在直线的方程；
（2）线段$AB$上是否存在一点$P$，使得$CP\perp OP$？若存在，求出线段$AP$的长度；若不存在，请说明理由.

答案： 解　
(1)由题意知O(0,0),B(2,3),
∴OB所在直线的斜率为$\frac{3−0}{2−0}$=$\frac{3}{2}$,
∴OB所在直线的方程为y−0=$\frac{3}{2}$(x−0),即3x−2y=0.
(2)不存在点P,使得CP⊥OP,理由如下:假设线段AB上存在点P(2,a)(0≤a≤3),使得CP⊥OP.显然直线CP与直线OP都存在斜率,分别记作kCP,kOP,
∴kCP·kOP=−1,又C(0,3),
∴kCP=$\frac{a−3}{2−0}$=$\frac{a−3}{2}$,kOP=$\frac{a−0}{2−0}$=$\frac{a}{2}$,
∴$\frac{a−3}{2}$·$\frac{a}{2}$=−1,即a²−3a+4=0,Δ=(−3)²−4×4＜0,方程无解.
∴线段AB上不存在点P,使得CP⊥OP.