《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 方程$y = k(x - 2)$表示（ ）
A. 通过点$(2,0)$的所有直线
B. 通过点$(2,0)$且不垂直于$y$轴的所有直线
C. 通过点$(2,0)$且不垂直于$x$轴的所有直线
D. 通过点$(2,0)$且除去$x$轴的所有直线

答案： 1.C　由直线的点斜式方程可得,C正确.

2. 在平面直角坐标系中，过点$(2,0)$且斜率为$-1$的直线不经过（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案：
2.C　在平面直角坐标系中,过点(2,0)且斜率为−1的直线如图所示，则该直线不经过第三象限.
　　　　　　　　

3. 经过点$(1,-1)$且一个方向向量为$(1,-\frac{3}{2})$的直线$l$的方程是（ ）
A. $y = -\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$
B. $y = -\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$
C. $y = -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$
D. $y = \frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$

答案： 3.A　直线l的一个方向向量为$(1,-\frac{3}{2})$，且经过(1,−1)，故直线l的斜率$k = -\frac{3}{2}$，故直线方程为$y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 1)$，即$y = -\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$。

4. 已知直线$l$的方程为$y + 1 = 2(x+\frac{5}{2})$，若$l$的斜率为$a$，在$y$轴上的截距为$b$，则$\log_{a}b$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. $\log_{2}6$
D. 0

答案： 4.B
∵直线l的方程为$y + 1 = 2(x+\frac{5}{2})$，即$y = 2x + 4$，
∴直线l的斜率为2，在y轴上的截距为4，即$a = 2$，$b = 4$，$\therefore\log_{a}b=\log_{2}4 = 2$。故选B。

5. 若原点$O$在直线$l$上的射影是点$P(-2,1)$，则直线$l$的方程为（ ）
A. $y = -\frac{1}{2}x$
B. $y = -2x + 5$
C. $y = 2x + 5$
D. $y = 2x + 3$

答案： 5.C　由题可得$OP\perp l$，且直线OP的斜率为$-\frac{1}{2}$，$\therefore$直线l的斜率为2，$\therefore$直线l的点斜式方程为$y - 1 = 2(x + 2)$，化简得$y = 2x + 5$，故选C。

6.（2023·舟山联考）经过两点$(3,9),(-1,1)$的直线在$x$轴上的截距为（ ）
A. $-\frac{3}{2}$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. 2

答案： 6.A　经过两点(3,9)，(-1,1)的直线的斜率为$k=\frac{9 - 1}{3 - (-1)} = 2$，则该直线的方程为$y - 9 = 2(x - 3)$，即$y = 2x + 3$。令$y = 0$，则$x = -\frac{3}{2}$，即该直线在x轴上的截距为$-\frac{3}{2}$。故选A。

7. 斜率与直线$y = \frac{3}{2}x$的斜率相等，且过点$(-4,3)$的直线的点斜式方程是__________，直线的斜截式方程是__________.

答案： 7.$y - 3=\frac{3}{2}(x + 4)$ $y=\frac{3}{2}x + 9$
　解析　直线$y=\frac{3}{2}x$的斜率为$\frac{3}{2}$，又所求直线过点(-4,3)，故直线的点斜式方程是$y - 3=\frac{3}{2}(x + 4)$，化为斜截式方程是$y=\frac{3}{2}x + 9$。

8. 已知过点$A(-2,m)$和点$B(m,4)$的直线为$l_{1}$，$l_{2}:y = -2x + 1$，$l_{3}:y = -\frac{1}{n}x-\frac{1}{n}$. 若$l_{1}// l_{2}$，$l_{2}\perp l_{3}$，则$m + n$的值为________.

答案： 8.−10
　解析　$\because l_{1}// l_{2}$，$\therefore k_{AB}=\frac{4 - m}{m + 2}=-2$，解得$m = - 8$。又$\because l_{2}\perp l_{3}$，$\therefore(-\frac{1}{n})\times(-2)=-1$，解得$n = - 2$。$\therefore m + n=-10$。

9. 求倾斜角是直线$y = -\sqrt{3}x + 1$的倾斜角的$\frac{1}{4}$，且分别满足下列条件的直线方程.
(1)经过点$(\sqrt{3},-1)$；
(2)在$y$轴上的截距是$-5$.

答案： 9.解
∵直线$y = -\sqrt{3}x + 1$的斜率$k = -\sqrt{3}$，$\therefore$其倾斜角$\alpha = 120^{\circ}$。
　由题意，得所求直线的倾斜角$\alpha_{1}=\frac{1}{4}\alpha = 30^{\circ}$，故所求直线的斜率$k_{1}=\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
(1)
∵所求直线经过点$(\sqrt{3},-1)$，斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\therefore$所求直线方程是$y + 1=\frac{\sqrt{3}}{3}(x - \sqrt{3})$。
(2)
∵所求直线的斜率是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，在y轴上的截距为−5，$\therefore$所求直线的方程为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x - 5$。