《2024年绿色通道45分钟课时作业与单元测评数学选择性必修第一册》

1. 平面内一点 M 到两定点$F_1(0,-3)$，$F_2(0,3)$的距离之和为 10，则 M 的轨迹方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$
C. $\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1$
D. $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{16}=1$

答案： B 平面内一点$M$到两定点$F_1(0, -3)$，$F_2(0, 3)$的距离之和为$10＞6$，所以点$M$的轨迹满足椭圆的定义，且$a = 5$，$c = 3$，则$b = 4$，又椭圆的焦点在$y$轴上，所以点$M$的轨迹方程为$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$。

2. 已知$\triangle ABC$的周长为 12，$B(0,-2)$，$C(0,2)$，则顶点 A 的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1(x\neq0)$
B. $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1(y\neq0)$
C. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1(x\neq0)$
D. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1(y\neq0)$

答案： A $\because\triangle ABC$的周长为$12$，顶点$B(0, -2)$，$C(0, 2)$，$\therefore|BC| = 4$，$|AB|+|AC| = 12 - 4 = 8$，$\therefore$点$A$到两个定点的距离之和等于定值，又$8＞4$，$\therefore$点$A$的轨迹是焦点在$y$轴上的椭圆（除去与$y$轴的交点），且$a = 4$，$c = 2$，$\therefore b^{2}=12$，$\therefore$椭圆的方程为$\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}=1(x\neq0)$。

3. 已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，M 为椭圆上一动点，$F_1$为椭圆的左焦点，则线段$MF_1$的中点 P 的轨迹是（ ）
A. 圆
B. 椭圆
C. 线段
D. 直线

答案： B 设椭圆的右焦点为$F_2$，由题意，知$|PO|=\frac{1}{2}|MF_2|$，$|PF_1|=\frac{1}{2}|MF_1|$，又$|MF_1|+|MF_2| = 2a$，所以$|PO|+|PF_1| = a＞|F_1O| = c$，故由椭圆的定义，可知点$P$的轨迹是椭圆。

4. 已知点$F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，动点 A 到$F_1$的距离是$2\sqrt{3}$，线段$AF_2$的垂直平分线交$AF_1$于点 P，则点 P 的轨迹方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
D. $\frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{10}=1$

答案： C 依题意有$|AP| = |PF_2|$，$|AF_1| = |AP|+|PF_1| = |PF_1|+|PF_2| = 2\sqrt{3}＞|F_1F_2| = 2$，$\therefore$点$P$的轨迹是以$F_1(-1, 0)$，$F_2(1, 0)$为焦点的椭圆。$\because 2a = 2\sqrt{3}$，$2c = 2$，$\therefore a=\sqrt{3}$，$c = 1$，$b=\sqrt{2}$，故所求点$P$的轨迹方程是$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$。

5. 动圆 M 与圆$M_1:(x + 1)^{2}+y^{2}=1$外切，与圆$M_2:(x - 1)^{2}+y^{2}=25$内切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）
A. $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
D. $x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1$

答案： B 设动圆的圆心为$M(x, y)$，半径为$R$，$\because$动圆与圆$M_1:(x + 1)^{2}+y^{2}=1$外切，与圆$M_2:(x - 1)^{2}+y^{2}=25$内切，$\therefore|MM_1|+|MM_2| = 1 + R+5 - R = 6$，$\because|MM_1|+|MM_2|＞|M_1M_2| = 2$，$\therefore$该动圆圆心$M$的轨迹是焦点在$x$轴上的椭圆，且$2a = 6$，$c = 1$，$\therefore a = 3$，$b^{2}=8$，$\therefore$动圆圆心$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$。

6. 设 O 为坐标原点，线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，且$|AB| = 5$，$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$，则点 M 的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
D. $\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{9}=1$

答案： A 设$M(x, y)$，$A(x_0, 0)$，$B(0, y_0)$，由$\overrightarrow{OM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$，可得$(x, y)=\frac{3}{5}(x_0, 0)+\frac{2}{5}(0, y_0)$，则$\begin{cases}x=\frac{3}{5}x_0\\y=\frac{2}{5}y_0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_0=\frac{5}{3}x\\y_0=\frac{5}{2}y\end{cases}$，因为$|AB| = 5$，所以$(\frac{5}{3}x)^{2}+(\frac{5}{2}y)^{2}=25$，即$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。所以点$M$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$。

7. 设圆$(x + 1)^{2}+y^{2}=25$的圆心为 C，$A(1,0)$是圆内一定点，Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线交 CQ 于点 M，则 M 的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{4x^{2}}{21}-\frac{4y^{2}}{25}=1$
B. $\frac{4x^{2}}{21}+\frac{4y^{2}}{25}=1$
C. $\frac{4x^{2}}{25}-\frac{4y^{2}}{21}=1$
D. $\frac{4x^{2}}{25}+\frac{4y^{2}}{21}=1$

答案： D 圆心$C(-1, 0)$，半径为$5$，设点$M(x, y)$，$\because AQ$的垂直平分线交$CQ$于点$M$，$\therefore|MA| = |MQ|$，$\therefore|MA|+|MC| = |MQ|+|MC| = 5＞|AC| = 2$，由椭圆的定义可得点$M$的轨迹是以$A$，$C$为焦点的椭圆，且$2a = 5$，$c = 1$，$\therefore b=\frac{\sqrt{21}}{2}$，故椭圆方程为$\frac{4x^{2}}{25}+\frac{4y^{2}}{21}=1$。

8. 设$A_1$，$A_2$是椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$与 x 轴的两个交点，$P_1$，$P_2$是椭圆上垂直于$A_1A_2$的弦的端点，则直线$A_1P_1$与$A_2P_2$交点的轨迹方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$
B. $\frac{y^{2}}{9}+\frac{x^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$
C. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$
D. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$

答案： C 设直线$A_1P_1$与$A_2P_2$的交点为$P(x, y)(x\neq\pm3)$，$A_1(-3, 0)$，$A_2(3, 0)$，$P_1(x_0, y_0)$，$P_2(x_0, -y_0)$，$\because A_1$，$P_1$，$P$共线，$\therefore\frac{y_0}{x_0 + 3}=\frac{y}{x + 3}$，① $\because A_2$，$P_2$，$P$共线，$\therefore\frac{-y_0}{x_0 - 3}=\frac{y}{x - 3}$，② ①$\times$②得$\frac{-y_0^{2}}{x_0^{2}-9}=\frac{y^{2}}{x^{2}-9}$，③ $\because P_1(x_0, y_0)$在椭圆$\frac{x_0^{2}}{9}+\frac{y_0^{2}}{4}=1$上，$\therefore\frac{x_0^{2}}{9}+\frac{y_0^{2}}{4}=1$，$\therefore y_0^{2}=4(1 - \frac{x_0^{2}}{9})$，将$y_0^{2}$代入③得$\frac{y^{2}}{x^{2}-9}=-\frac{4(1 - \frac{x_0^{2}}{9})}{x_0^{2}-9}=\frac{4}{9}$，$\therefore P$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1(x\neq\pm3)$。

9. 在平面直角坐标系中，已知点$A(2,0)$，$B(-2,0)$，P 是平面内一动点，直线 PA，PB 的斜率之积为$-\frac{3}{4}$，则动点 P 的轨迹方程为__________.

答案： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(x\neq\pm2)$
解析 设点$P$的坐标为$(x, y)(x\neq\pm2)$，依题意，有$\frac{y}{x - 2}\times\frac{y}{x + 2}=-\frac{3}{4}$，化简并整理，得$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(x\neq\pm2)$。$\therefore$动点$P$的轨迹方程是$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(x\neq\pm2)$。

10. 若动点 P 与点$(1,0)$的距离与点 P 到定直线$x = 3$的距离之比是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，则动点 P 的轨迹方程是__________.

答案： $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
解析 设点$P$的坐标为$(x, y)$，则由题意得$\frac{|x - 3|}{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}=\sqrt{3}$，整理得$2x^{2}+3y^{2}=6$，即$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$，所以动点$P$的轨迹方程是$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$。

11. 已知$B(-1,0)$，$C(1,0)$为$\triangle ABC$的两个顶点，P 为$\triangle ABC$的重心，边 AC，AB 上的两条中线的长度之和为 6，则点 P 的轨迹方程是__________.

答案： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(x\neq\pm2)$
解析 设边$AC$，$AB$的中点分别为$D$，$E$，因为$P$为$\triangle ABC$的重心，所以$|PB|=\frac{2}{3}|BD|$，$|PC|=\frac{2}{3}|CE|$，又边$AC$，$AB$上的两条中线的长度之和为$6$，即$|BD|+|CE| = 6$，所以$|PB|+|PC|=\frac{2}{3}\times6 = 4＞|BC|$，故由椭圆的定义可知点$P$的轨迹是以$B(-1, 0)$，$C(1, 0)$为焦点的椭圆（不包括与$x$轴的交点），且$a = 2$，$c = 1$，所以$b=\sqrt{3}$，所以点$P$的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1(x\neq\pm2)$。

12. 在圆$x^{2}+y^{2}=4$上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，$\overrightarrow{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{DP}$. 当点 P 在圆上运动时，点 M 的轨迹方程是__________.

答案： $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
解析 设点$M$的坐标为$(x, y)$，点$P$的坐标为$(x_0, y_0)$，则点$D$的坐标为$(x_0, 0)$，$\because\overrightarrow{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{DP}$，$\therefore\begin{cases}x = x_0\\y=\frac{\sqrt{3}}{2}y_0\end{cases}$，$\therefore\begin{cases}x_0 = x\\y_0=\frac{2}{\sqrt{3}}y\end{cases}$，$\because$点$P$在圆$x^{2}+y^{2}=4$上，$\therefore x_0^{2}+y_0^{2}=4$，$\therefore x^{2}+(\frac{2}{\sqrt{3}}y)^{2}=4$，$\therefore$点$M$的轨迹方程是$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$。