《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y = $\sqrt{3}x$经过点A,作AB⊥x轴于点B,将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD,若点B的坐标为(2,0),求点C的坐标.

答案： 解:$\because$点$B$的坐标为$(2,0)$，
$\therefore OB = 2$.
$\because$直线$y=\sqrt{3}x$经过点$A$，$AB\perp x$轴于点$B$，
$\therefore y = 2\sqrt{3}$，
$\therefore$点$A$的坐标为$(2,2\sqrt{3})$，
$\therefore AB = 2\sqrt{3}$.
由勾股定理，得$OA=\sqrt{AB^{2}+OB^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}} = 4$，
$\therefore\frac{OB}{OA}=\frac{1}{2}$，
$\therefore\angle OAB = 30^{\circ}$，$\angle AOB = 60^{\circ}$.
$\because\triangle ABO$绕点$B$顺时针旋转$60^{\circ}$得到$\triangle CBD$，
$\therefore\angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$.
设$AB$与$CD$相交于点$E$，
$\therefore\angle BEC = 90^{\circ}=\angle OBA$，
$\therefore CD// x$轴.
在$Rt\triangle BEC$中，$BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
$\therefore CE=\sqrt{BC^{2}-BE^{2}} = 3$，
$\therefore$点$C$的横坐标为$3 + 2 = 5$，$\therefore$点$C$的坐标为$(5,\sqrt{3})$.

4. (齐齐哈尔建华区期末)如图,直线y = - $\frac{1}{2}x + 3$与坐标轴分别交于点A,B,与直线y = x交于点C,线段OA上的点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动,运动时间为t秒,连接CQ.
(1)求点C的坐标;
(2)若△OQC是等腰直角三角形,则t的值为________;
(3)若CQ平分△OAC的面积,求直线CQ的函数关系式.

答案：
解:
(1)联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x + 3\\y = x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(2,2)$.
(2)$2$或$4$ [解析]分情况讨论:如答图①，
当$\angle CQO = 90^{\circ}$，$CQ = OQ$时，
$\because C(2,2)$，
$\therefore OQ = CQ = 2$，$\therefore t=\frac{2}{1}=2$；

如答图②，当$\angle OCQ = 90^{\circ}$，$OC = CQ$时，
过点$C$作$CM\perp OA$于点$M$.
$\because C(2,2)$，
$\therefore CM = OM = 2$，$\therefore QM = OM = 2$，
$\therefore OQ = 4$，$\therefore t=\frac{4}{1}=4$.
综上，$t$的值为$2$或$4$.
(3)令$-\frac{1}{2}x + 3 = 0$，得$x = 6$，$\therefore A(6,0)$.
$\because CQ$平分$\triangle OAC$的面积，$\therefore Q(3,0)$.
设直线$CQ$的函数关系式是$y = kx + b(k\neq0)$，
把$C(2,2)$，$Q(3,0)$代入得$\begin{cases}2k + b = 2\\3k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b = 6\end{cases}$，
$\therefore$直线$CQ$的函数关系式为$y=-2x + 6$.