《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

26.(本题9分)如图,在平面直角坐标系中,直线$l_{1}:y = kx - 8k$与$x$轴交于点$A$,与$y$轴正半轴交于点$B$,$\triangle AOB$的面积为16;直线$l_{2}:y=\frac{1}{2}x$与直线$l_{1}:y = kx - 8k$交于点$C$.
(1)求直线$l_{1}$的解析式;
(2)求$OC$的长;
(3)若直线$l_{2}$上有一点$P$,满足$\angle PBA=\angle BAO$,求点$P$的坐标.

答案：
解：
(1)直线$l_{1}:y = kx - 8k$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴正半轴交于点$B$，
$\therefore B(0,-8k)$，$A(8,0)$，
$\therefore OA = 8$，$OB = - 8k$.
$\because \triangle AOB$的面积为$16$，
$\therefore \frac{1}{2}\times 8\times(-8k) = 16$，$\therefore k = -\frac{1}{2}$，
$\therefore$直线$l_{1}$的解析式为$y = -\frac{1}{2}x + 4$.
(2)由题意，得$\begin{cases}y = -\frac{1}{2}x + 4\\y = \frac{1}{2}x\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 4\\y = 2\end{cases}$，故$C(4,2)$，
则$OC = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$.
(3)由
(1)知$k = -\frac{1}{2}$，则$B(0,4)$.
如答图，当点$P$在直线$AB$的上方时，点$P$在点$P_{1}$处.

$\because \angle P_{1}BA = \angle BAO$，
$\therefore BP_{1}// AO$，
$\therefore$点$P_{1}$的纵坐标为$4$.
$\because$点$P_{1}$在直线$l_{2}$上，
$\therefore 4 = \frac{1}{2}x$，
$\therefore x = 8$，$\therefore P_{1}(8,4)$；
当点$P$在直线$AB$的下方时，点$P$在点$P_{2}$处，延长$BP_{2}$交$OA$于点$E$.
$\because \angle P_{2}BA = \angle BAO$，
$\therefore AE = BE$.
$\because BE^{2} = OE^{2} + BO^{2}$，
$\therefore (8 - OE)^{2} = OE^{2} + 16$，
$\therefore OE = 3$，$\therefore E(3,0)$.
设直线$BE$的解析式为$y = mx + 4(m\neq 0)$，
$\therefore 0 = 3m + 4$，
$\therefore m = -\frac{4}{3}$，
$\therefore$直线$BE$的解析式为$y = -\frac{4}{3}x + 4$.
联立$\begin{cases}y = \frac{1}{2}x\\y = -\frac{4}{3}x + 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = \frac{24}{11}\\y = \frac{12}{11}\end{cases}$，
$\therefore P_{2}(\frac{24}{11},\frac{12}{11})$.
综上所述，点$P$的坐标为$(8,4)$或$(\frac{24}{11},\frac{12}{11})$.

27.(本题10分)[核心素养]某市甲、乙两厂积极生产某种救灾物资共500吨，乙厂的生产量比甲厂的2倍少100吨;这批救灾物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下表(单位;元/吨)：
| |A|B|
|----|----|----|
|甲|20|25|
|乙|15|24|
(1)求这批救灾物资甲、乙两厂各生产了多少吨;
(2)设这批救灾物资从乙厂运往A地$x$吨,全部运往A,B两地的总运费为$y$元.求$y$与$x$之间的函数解析式,并设计出使总运费最少的调运方案;
(3)当每吨运费均降低$m$元$(0 ＜ m\leq15$且$m$为整数)时,按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元.求$m$的最小值.

答案： 解：
(1)设这批救灾物资甲厂生产了$a$吨，乙厂生产了$b$吨，
则$\begin{cases}a + b = 500\\2a - b = 100\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 200\\b = 300\end{cases}$，
即这批救灾物资甲厂生产了$200$吨，乙厂生产了$300$吨.
(2)由题意，得$y = 20(240 - x) + 25[260 - (300 - x)] + 15x + 24(300 - x) = - 4x + 11000$.
$\because \begin{cases}x\geq 0\\240 - x\geq 0\\260 - (300 - x)\geq 0\\300 - x\geq 0\end{cases}$，
解得$40\leq x\leq 240$.
又$\because - 4 ＜ 0$，
$\therefore y$随$x$的增大而减小，
$\therefore$当$x = 240$时，可以使总运费最少，
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y = - 4x + 11000(40\leq x\leq 240)$；使总运费最少的调运方案：甲厂的$200$吨物资全部运往$B$地，乙厂的物资运往$A$地$240$吨，运往$B$地$60$吨.
(3)由
(2)及题意，得$y = - 4x + 11000 - 500m$.当$x = 240$时，$y_{最小} = - 4\times 240 + 11000 - 500m = 10040 - 500m$，$\therefore 10040 - 500m\leq 5200$，解得$m\geq 9.68$.而$0 ＜ m\leq 15$且$m$为整数，$\therefore m$的最小值为$10$.