《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

2. (双鸭山尖山区期中)已知正方形ABCD中,点E,M分别在边AB,AD上.
(1)如图①,CM⊥DE,垂足为G,求证:DE = CM;
(2)如图②,点F,N分别在边CD,BC上,若EF⊥MN,请判断EF和MN的大小关系,并说明理由.

答案：

(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴AD = DC,∠DAE = ∠CDM = 90°,
∴∠ADE + ∠EDC = 90°.
∵CM⊥DE,
∴∠CGD = 90°,
∴∠EDC + ∠DCM = 90°,
∴∠ADE = ∠DCM.在△ADE和△DCM中,
$\begin{cases}\angle ADE=\angle DCM \\AD = DC \\\angle DAE=\angle CDM\end{cases}$
∴△ADE≌△DCM(ASA),
∴DE = CM.
(2)解:EF = MN,理由如下:如答图,过点C作CR//MN交AD于点R,过点D作DQ//EF交AB于点Q.

∵四边形ABCD为正方形,
∴AD//BC,即MR//CN.
又
∵CR//MN,
∴四边形MNCR为平行四边形,
∴NM = CR,同理可得EF = DQ.
又由
(1)可知CR = DQ,
∴EF = MN.