《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

23. (本题7分)(怀化中考)如图,矩形ABCD中,过对角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F.
(1)证明:△BOF≌△DOE;
(2)连接BE,DF,证明:四边形EBFD是菱形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,
∴∠EDO = ∠FBO.
∵O是BD的中点,
∴DO = BO.
又
∵∠EOD = ∠FOB,
∴△BOF≌△DOE.
(2)由
(1)得△BOF≌△DOE,
∴BF = DE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,即DE//BF,
∴四边形EBFD是平行四边形.
∵EF⊥BD,
∴四边形EBFD是菱形.

24. (本题8分)(南充中考)如图,在□ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE = ∠ADF. 求证:
(1)AE = CF;
(2)BE//DF.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,AD = BC,
∴∠DAF = ∠BCE.
在△ADF和△CBE中,{∠ADF = ∠CBE, AD = CB, ∠DAF = ∠BCE}
∴△ADF≌△CBE(ASA),
∴AF = CE,
∴AF - EF = CE - EF,
即AE = CF.
(2)
∵△ADF≌△CBE,
∴∠AFD = ∠CEB,
∴BE//DF.

25. (本题9分)(长沙中考)如图,在□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB = AD.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)若E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF = $\frac{3}{2}$,AO = 2,求BD的长及四边形ABCD的周长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,AB = AD,
∴□ABCD是菱形,
∴AC⊥BD.
(2)解:
∵E,F分别为AD,AO的中点,
∴EF是△AOD的中位线,
∴OD = 2EF = 3.
由
(1)可知,四边形ABCD是菱形,
∴AB = BC = CD = AD,BD = 2OD = 6.
在Rt△AOD中,由勾股定理,得
AD = $\sqrt{AO^{2} + OD^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + 3^{2}}$ = $\sqrt{13}$,
∴菱形ABCD的周长 = 4AD = 4$\sqrt{13}$.