《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

27. (本题10分)已知矩形ABCD中，AB = 4 cm，BC = 8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1) 如图①，连接AF，CE. 求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
(2) 如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止. 在运动过程中：
①已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；
②若点P，Q的运动路程分别为a，b（单位：cm，ab≠0），已知以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式.

答案：
解：
(1)$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD// BC$，
$\therefore\angle CAD=\angle ACB$，$\angle AEF=\angle CFE$。
$\because EF$垂直平分$AC$，垂足为$O$，
$\therefore OA = OC$，
$\therefore\triangle AOE\cong\triangle COF$，
$\therefore OE = OF$，
$\therefore$四边形$AFCE$为平行四边形。
又$\because EF\perp AC$，
$\therefore$平行四边形$AFCE$为菱形。
设$AF = CF = x\ cm$，则$BF=(8 - x)\ cm$。
在$Rt\triangle ABF$中，$AB = 4\ cm$。
由勾股定理，得$4^{2}+(8 - x)^{2}=x^{2}$，
解得$x = 5$，
$\therefore AF = 5\ cm$。
(2)①显然当点$P$在$AF$上时，点$Q$在$CD$上，此时以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形不可能为平行四边形；当点$P$在$AB$上时，点$Q$在$DE$或$CE$上，此时以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形也不可能为平行四边形。因此只有当点$P$在$BF$上、点$Q$在$ED$上时，才能构成平行四边形，
$\therefore$以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是平行四边形时，$PC = QA$。
$\because$点$P$的速度为每秒$5\ cm$，点$Q$的速度为每秒$4\ cm$，运动时间为$t$秒，
$\therefore PC = PF + FC = PF + AF = 5t\ cm$，
$QA = CD + AD - 4t=(12 - 4t)\ cm$。
令$5t = 12 - 4t$，解得$t=\frac{4}{3}$，
$\therefore$以$A$，$C$，$P$，$Q$四点为顶点的四边形是平行四边形时，$t=\frac{4}{3}$。
②分三种情况：
(ⅰ)如答图①，当点$P$在$AF$上、点$Q$在$CE$上时，$AP = CQ$，即$a = 12 - b$，得$a + b = 12$；
(ⅱ)如答图②，当点$P$在$BF$上、点$Q$在$DE$上时，$AQ = CP$，即$12 - b = a$，得$a + b = 12$；
(ⅲ)如答图③，当点$P$在$AB$上、点$Q$在$CD$上时，$AP = CQ$，即$12 - a = b$，得$a + b = 12$。
综上所述，$a$与$b$满足的数量关系式是$a + b = 12$。