《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

5. 如图,在菱形ABCD中,AB = 2,∠A = 60°,E,F分别是AD,AB边上一点,将菱形沿EF折叠,当点A落在CD的中点G处时,连接BG.
(1)求证:△FBG是直角三角形;
(2)求BF的长.

答案：

(1)证明：如答图，连接BD。
∵四边形ABCD是菱形，
∠A = 60°，
∴AB//CD，△BCD是等边三角形。
∵G是CD的中点，
∴BG⊥CD，即∠CGB = 90°，
∴∠CGB = ∠FBG = 90°，
即△FBG是直角三角形。

(2)解：由
(1)可知，△BCD是等边三角形，G是CD的中点。
∵CD = AB = 2，
∴CG = 1，CB = 2。
在Rt△GBC中，由勾股定理可得
BG² = BC² - CG² = 2² - 1² = 3。
∵△AEF翻折至△GEF，
∴AF = GF。
设BF = x，则AF = GF = 2 - x。
在Rt△FBG中，GF² = BF² + BG²，
即(2 - x)² = x² + 3，
解得x = $\frac{1}{4}$，即BF = $\frac{1}{4}$。

6. 把正方形ABCD对折,得到折痕MN(如图①),展开后把正方形ABCD沿CE折叠,使点B落在MN上的点B'处,连接B'D(如图②).试求∠BCB'及∠ADB'的度数.

答案：
解：连接BB'，如答图。

由折叠可得BC = B'C，BB' = B'C，
∴BC = BB' = B'C，
∴△B'BC是等边三角形，
∴∠BCB' = 60°，
∴∠B'CD = 30°。
∵DC = B'C，
∴∠CB'D = ∠CDB'，
∴∠CB'D = ∠CDB' = $\frac{1}{2}$×(180° - 30°) = 75°，
∴∠ADB' = 90° - 75° = 15°。