《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

4. 在正方形ABCD中,E是BC所在直线上一动点,AE与BD相交于点M,AE与DC相交于点F,G是EF的中点,连接CG,CM.
(1)如图①,当点E在BC边上时. 求证:CG⊥CM;
(2)如图②,当点E在BC的延长线上时,(1)中的结论是否成立? 请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC,∠ABM = ∠CBM.
在△ABM和△CBM中,
$\begin{cases}AB = CB,\\\angle ABM=\angle CBM,\\BM = BM\end{cases}$
∴ △ABM≌△CBM(SAS),
∴ ∠BAM = ∠BCM.
又
∵ ∠ECF = 90°,G是EF的中点,
∴ $GC=\frac{1}{2}EF = GF$,
∴ ∠GCF = ∠GFC.
又
∵ AB//DF,
∴ ∠BAM = ∠GFC,
∴ ∠BCM = ∠GCF,
∴ ∠BCM + ∠GCE = ∠GCF + ∠GCE = 90°,
∴ GC⊥CM.
(2)解:成立. 理由如下:
∵ 四边形ABCD是正方形,
∴ AB = BC,∠ABM = ∠CBM.
在△ABM和△CBM中,
$\begin{cases}AB = CB,\\\angle ABM=\angle CBM,\\BM = BM\end{cases}$
∴ △ABM≌△CBM(SAS),
∴ ∠BAM = ∠BCM.
又
∵ ∠ECF = 90°,G是EF的中点,
∴ GC = GF,
∴ ∠GCF = ∠GFC.
又
∵ AB//DC,
∴ ∠BAM = ∠GFC,
∴ ∠BCM = ∠GCF,
∴ ∠GCF + ∠MCF = ∠BCM + ∠MCF = 90°,
∴ GC⊥CM.