《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

20. (本题6分)如图,△ABC的顶点都在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上.
(1)∠ABC + ∠ACB = ________;
(2)利用网格,证明(1)中的结论.

答案：

(1)解：$45^{\circ}$
(2)证明：如答图，延长$BA$交网格线于点$D$，连接$CD$
则$AD^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$CD^{2}=1^{2}+2^{2}=5$，$AC^{2}=1^{2}+3^{2}=10$，
∴$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，$AD = CD$，
∴$\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴$\triangle ADC$为等腰直角三角形，
∴$\angle DAC=\angle DCA = 45^{\circ}$.
∵$\angle DAC=\angle ABC+\angle ACB$，
∴$\angle ABC+\angle ACB = 45^{\circ}$.

21. (本题6分)(大庆让胡路区期中)如图,在四边形ABCD中,AB = 1,BC = 2,CD = 2,AD = 3,且∠ABC = 90°,连接AC.
(1)求AC的长度;
(2)试判断三角形ACD的形状.

答案： 解：
(1)
∵$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 1$，$BC = 2$，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.
(2)在$\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{5}$，$CD = 2$，$AD = 3$.
∵$AC^{2}+CD^{2}=5 + 4 = 9$，$AD^{2}=9$，
∴$AC^{2}+CD^{2}=AD^{2}$，
∴$\triangle ACD$是直角三角形.

22. (本题6分)如图,经过A村和B村(将A,B村看成直线l上的点)的笔直公路l旁有一块山地正在开发,现需要在C处进行爆破. 已知C处与A村的距离为900米,C处与B村的距离为1 200米,且AC⊥BC.
(1)求A,B两村之间的距离;
(2)为了安全起见,爆破点C周围半径750米范围内不得进入,在进行爆破时,公路AB段是否有危险,需要封锁? 如果需要,请计算需要封锁的路段长度;如果不需要,请说明理由.

答案：
解：
(1)在$Rt\triangle ABC$中，$AC = 900$米，$BC = 1200$米，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{900^{2}+1200^{2}}=1500$(米).
答：$A$，$B$两村之间的距离为1500米.
(2)公路$AB$有危险，需要封锁.
理由如下：如答图，过点$C$作$CD\perp AB$于点$D$.
以点$C$为圆心，750米为半径画弧，交$AB$于点$E$，$F$，
连接$CE$，$CF$.
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}AC\cdot BC$，
∴$CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{900\times1200}{1500}=720$(米).
由于720米＜750米，
故有危险，因此$AB$段公路需要封锁.
∵$EC = FC = 750$米，
∴$ED=\sqrt{750^{2}-720^{2}}=210$(米)，
故$EF = 420$米，则需要封锁的路段长度为420米.