《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

8. 阅读材料,解答下列问题:
材料:已知$\sqrt{15 - x}-\sqrt{8 - x}=1$,求$\sqrt{15 - x}+\sqrt{8 - x}$的值.
李聪同学是这样解答的:设$\sqrt{15 - x}+\sqrt{8 - x}=y$, ①
$\because\sqrt{15 - x}-\sqrt{8 - x}=1$, ②
①②两式左右两边分别相乘,得
$(\sqrt{15 - x}-\sqrt{8 - x})(\sqrt{15 - x}+\sqrt{8 - x})=y$,
即$(\sqrt{15 - x})^{2}-(\sqrt{8 - x})^{2}=y$,
$15 - x - 8 + x=y,7=y$,
$\therefore\sqrt{15 - x}+\sqrt{8 - x}=7$.
这种方法称为“构造对偶式”.
已知$\sqrt{30 - x}+\sqrt{9 - x}=7$,求$\sqrt{30 - x}-\sqrt{9 - x}$的值.

答案： 解：设$\sqrt{30 - x}-\sqrt{9 - x}=y$，①
$\because \sqrt{30 - x}+\sqrt{9 - x}=7$，②
①②两式左右两边分别相乘，得
$(\sqrt{30 - x}+\sqrt{9 - x})(\sqrt{30 - x}-\sqrt{9 - x}) = 7y$，
$(\sqrt{30 - x})^2-(\sqrt{9 - x})^2 = 7y$，
$30 - x - 9 + x = 7y$，$21 = 7y$，
$\therefore y = 3$，即$\sqrt{30 - x}-\sqrt{9 - x}=3$.