《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

6. (牡丹江中考)为了迎接“十一”长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋,其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
|运动鞋 价格|甲|乙|
|--|--|--|
|进价(元/双)|m|m - 20|
|售价(元/双)|240|160|
已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
(1)求m的值;
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润 = 售价 - 进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案;
(3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(50 ＜ a ＜ 70)元出售,乙种运动鞋价格不变,那么该专卖店要获得最大利润应如何进货?

答案： 解:
(1)依题意,得$\frac{3 000}{m}=\frac{2 400}{m - 20},$整理,得3 000(m - 20)=2 400m,解得m = 100,
经检验,m = 100是原分式方程的解,所以m = 100.
(2)设购进甲种运动鞋x双,则购进乙种运动鞋(200 - x)双.根据题意,得$\begin{cases}(240 - 100)x+(160 - 80)(200 - x)\geqslant21 700 ①\\(240 - 100)x+(160 - 80)(200 - x)\leqslant22 300 ②\end{cases}$解不等式①得$x\geqslant95,$解不等式②得$x\leqslant105,$所以不等式组的解集是95≤x≤105.
∵x是正整数,105 - 95 + 1 = 11,
∴共有11种进货方案.
(3)设总利润为W元,则W=(240 - 100 - a)x+(160 - 80)(200 - x)=(60 - a)x+16 000(95≤x≤105).
①当50 ＜ a ＜ 60时,60 - a＞0,W随x的增大而增大,
所以当x = 105时,W有最大值,
此时应购进甲种运动鞋105双,乙种运动鞋95双;
②当a = 60时,60 - a=0,W = 16 000,
(2)中所有方案获利都一样;
③当60 ＜ a ＜ 70时,60 - a＜0,W随x的增大而减小,
所以当x = 95时,W有最大值,
此时应购进甲种运动鞋95双,乙种运动鞋105双.