《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

23. (本题6分)如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点A出发，沿北偏东60°方向走了$500\sqrt{3}$ m到达点B，然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地点C，求A，C两点间的距离.

答案： 解：$\because BE// AD$，$\therefore\angle DAB=\angle ABE = 60^{\circ}$。
$\because30^{\circ}+\angle CBA+\angle ABE = 180^{\circ}$，
$\therefore\angle CBA = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$为直角三角形。
$\because BC = 500\ m$，$AB = 500\sqrt{3}\ m$，$\therefore AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}$，
$\therefore AC=\sqrt{500^{2}+(500\sqrt{3})^{2}} = 1000(m)$。
答：$A$，$C$两点间的距离是$1000\ m$。

24. (本题8分)如图，已知△ABC是等边三角形，点D，F分别在线段BC，AB上，∠EFB = 60°，EF = DC.
(1) 求证：四边形EFCD是平行四边形；
(2) 若BF = EF，求证：AE = AD.

答案：
证明：
(1)$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ABC = 60^{\circ}$。
$\because\angle EFB = 60^{\circ}$，
$\therefore\angle ABC=\angle EFB$，$\therefore EF// DC$。
$\because EF = DC$，
$\therefore$四边形$EFCD$是平行四边形。
(2)连接$BE$，如答图。
$\because BF = EF$，$\angle EFB = 60^{\circ}$，
$\therefore\triangle EFB$是等边三角形，
$\therefore EB = EF$，$\angle EBF = 60^{\circ}$。
$\because DC = EF$，$\therefore EB = DC$。
$\because\triangle ABC$是等边三角形，
$\therefore\angle ACB = 60^{\circ}$，$AB = AC$，
$\therefore\angle EBA=\angle DCA$，
$\therefore\triangle AEB\cong\triangle ADC$，$\therefore AE = AD$。