《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

23. (本题7分)(常德中考)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡,设入园次数为$x$时,所需费用为$y$元,选择这两种卡消费时,$y$与$x$的函数关系如图所示,解答下列问题:
(1)分别求出选择这两种卡消费时,$y$关于$x$的函数解析式;
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.

答案： 解:
(1)设$y_{甲}=k_1x(k_1\neq0)$,根据题意,得$5k_1 = 100$,解得$k_1 = 20,\therefore y_{甲}=20x$.设$y_{乙}=k_2x + 100(k_2\neq0)$,根据题意,得$20k_2 + 100 = 300$,解得$k_2 = 10,\therefore y_{乙}=10x + 100.$
(2)①当$y_{甲}＜y_{乙}$时,即$20x＜10x + 100$,解得$x＜10$,即当入园次数小于10次时,选择甲消费卡比较合算;②当$y_{甲}=y_{乙}$时,即$20x = 10x + 100$,解得$x = 10$,即当入园次数等于10次时,选择两种消费卡费用一样;③当$y_{甲}＞y_{乙}$时,即$20x＞10x + 100$,解得$x＞10$,即当入园次数大于10次时,选择乙消费卡比较合算.

24. (本题8分)如图,直线$y = kx + b$经过点$A( - 1,a)$和点$B( - 2,0)$,直线$y = 2x$经过点$A$.
(1)求$a$的值和一次函数的解析式;
(2)根据函数图象可得,不等式$2x ＜ kx + b ＜ 0$的解集为__________.

答案： 解:
(1)$\because$直线$y = 2x$经过点$A(-1,a)$,$\therefore a = 2\times(-1)=-2.$$\because$直线$y = kx + b$经过点$A(-1,-2)$和点$B(-2,0)$,$\therefore$将其代入,得$\begin{cases}-k + b = -2,\\-2k + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k = -2,\\b = -4,\end{cases}$$\therefore$一次函数的解析式为$y = -2x - 4.$
(2)$-2 ＜ x ＜ -1$.

25. (本题9分)[传统文化]茶为国饮,茶文化是中国传统文化的重要组成部分,这也带动了茶艺、茶具、茶服等相关文化的延伸及产业发展. 某茶具店老板购进了A,B两种不同的茶具. 若购进A种茶具1套和B种茶具2套,则需要250元;若购进A种茶具3套和B种茶具4套,则需要600元.
(1)A,B两种茶具每套进价分别为多少元?
(2)该茶具店老板计划用不超过1800元的资金购进A,B两种茶具共20套,A,B两种茶具每套售价分别为230元和160元. 若这两种茶具能全部售出,则该茶具店老板如何进货才能获得最大利润? 最大利润是多少?

答案： 解:
(1)设A种茶具每套进价为$x$元,B种茶具每套进价为$y$元,根据题意,得$\begin{cases}x + 2y = 250,\\3x + 4y = 600,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 100,\\y = 75.\end{cases}$答:A种茶具每套进价为100元,B种茶具每套进价为75元.
(2)设购进A种茶具$m$套,则购进B种茶具$(20 - m)$套.$\because$用不超过1800元的资金购进,$\therefore 100m + 75(20 - m)\leqslant1800$,解得$m\leqslant12$.设获得的利润为$w$元,根据题意,得$w=(230 - 100)m+(160 - 75)(20 - m)=45m + 1700.$$\because45＞0,\therefore w$随$m$的增大而增大,$\therefore$当$m = 12$时,$w$取最大值,最大值是$45\times12 + 1700 = 2240$.此时$20 - m = 20 - 12 = 8$.答:购进A种茶具12套,购进B种茶具8套,才能获得最大利润,最大利润是2240元.