《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

6. 观察下列等式:
第1个等式:$a_{1}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$;
第2个等式:$a_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$;
第3个等式:$a_{3}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$;
第4个等式:$a_{4}=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2;\cdots$
按照规律,计算$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{2025}$.

答案： 解：$\because$第1个等式：$a_1=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$；
第2个等式：$a_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$；
第4个等式：$a_4=\frac{1}{2+\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2$；$\cdots$
$\therefore a_1 + a_2 + a_3+\cdots+a_{2025}=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{2026}-\sqrt{2025}=\sqrt{2026}-1$.

7. 有这样一类题目:将$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$化简,如果你能找到两个数$m$,$n$,使$m^{2}+n^{2}=a$且$mn=\sqrt{b}$,则将$a + 2\sqrt{b}$变成$m^{2}+n^{2}+2mn$,即变成$(m + n)^{2}$,从而使$\sqrt{a + 2\sqrt{b}}$得以化简.
例如:$5 + 2\sqrt{6}=3 + 2 + 2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}+2\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}$,$\therefore\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
请仿照上例解下列问题:
(1)化简:$\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$;
(2)设$A=\sqrt{9 + 4\sqrt{5}},B=\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}$,求$A + B$的值.

答案： 解：
(1)$4 + 2\sqrt{3}=3 + 1 + 2\sqrt{3}$
$=(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 2\sqrt{3}=(\sqrt{3}+1)^2$，
$\therefore \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=|\sqrt{3}+1|=\sqrt{3}+1$.
(2)$9 + 4\sqrt{5}=4 + 5 + 4\sqrt{5}$
$=2^2+(\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5}=(2+\sqrt{5})^2$，
$\therefore A=\sqrt{9 + 4\sqrt{5}}=\sqrt{(2+\sqrt{5})^2}=|2+\sqrt{5}|=2+\sqrt{5}$，
$11 - 2\sqrt{30}=6 + 5 - 2\sqrt{30}$
$=(\sqrt{6})^2+(\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{30}=(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$，
$\therefore B=\sqrt{11 - 2\sqrt{30}}=\sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2}$
$=|\sqrt{6}-\sqrt{5}|=\sqrt{6}-\sqrt{5}$，
$\therefore A + B=2+\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{5}=2+\sqrt{6}$，
$\therefore A + B$的值为$2+\sqrt{6}$.