《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

3. 如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E是AB边上的一点,连接OE,过点O作OF⊥OE交BC于点F,若AD = 2,求四边形BFOE的面积.

答案： 解:
∵四边形ABCD是正方形,
∴BO = CO,∠ABC = 90°,∠ABO = ∠BCO = 45°.
∵OF⊥OE,
∴∠EOF = 90°,
∴∠BEO + ∠BFO = 180°.
∵∠BFO + ∠OFC = 180°,
∴∠OFC = ∠BEO.
在△BOE和△COF中,
$\begin{cases}\angle BEO=\angle CFO \\\angle OBE=\angle OCF \\OB = OC\end{cases}$
∴△BOE≌△COF(AAS),
∴$S_{\triangle BOE}=S_{\triangle COF}$.
∵AD = 2,
∴$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}=\frac{1}{4}AD^{2}=\frac{1}{4}\times2^{2}=1$,
∴$S_{四边形BFOE}=S_{\triangle BOF}+S_{\triangle BOE}=S_{\triangle BOF}+S_{\triangle COF}=S_{\triangle BOC}=1$.

4. 如图,在正方形ABCD中,AB = 6,P为对角线BD上任意一点,连接AP,过点P作PQ⊥AP交BC于点Q.
(1)求证:AP = PQ;
(2)若DP = √2,求四边形ABQP的面积.

答案：

(1)证明:如答图,过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC = 90°,BD平分∠ABC,
∴PM = PN.
∵AP⊥PQ,
∴∠APQ = 90°,
∴∠BAP + ∠BQP = 180°.
∵∠BQP + ∠PQN = 180°,
∴∠PQN = ∠BAP.
在△AMP和△QNP中,
$\begin{cases}\angle MAP=\angle NQP \\\angle AMP=\angle QNP = 90° \\PM = PN\end{cases}$
∴△AMP≌△QNP(AAS),
∴AP = PQ.

(2)解:由
(1)知PM = PN,
又
∵∠MBN = ∠PMB = ∠PNB = 90°,
∴四边形MBNP是正方形.
∵AB = 6,四边形ABCD是正方形,
∴BD = $6\sqrt{2}$.
∵DP = $\sqrt{2}$,
∴BP = $5\sqrt{2}$,
则$S_{四边形ABQP}=S_{正方形MBNP}=\frac{1}{2}BP^{2}=25$.