《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

23. (本题7分)“儿童散学归来早,忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节,松松在学习了“勾股定理”之后,为了计算如图所示的风筝的垂直高度CE,他测得以下数据:
①水平距离BD的长为8米;
②由手中剩余线的长度得出风筝线BC的长为17米;
③牵线放风筝的松松的身高为1.6米.
(1)求风筝的垂直高度CE;
(2)若松松想风筝沿CD方向下降9米,则他应该往回收线多少米?

答案：
解：
(1)在$Rt\triangle CDB$中，
由勾股定理，得$CD^{2}=BC^{2}-BD^{2}=17^{2}-8^{2}=225$.
∵$CD＞0$，
∴$CD = 15$米，
∴$CE = CD + DE = 15 + 1.6 = 16.6$(米).
答：风筝的垂直高度$CE$为16.6米.
(2)如答图，在线段$CD$上找一点$M$，使$CM = 9$米，
∴$DM = 6$米，连接$BM$.
在$Rt\triangle BDM$中，
$BM=\sqrt{DM^{2}+BD^{2}}$
$=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$(米)，
∴$BC - BM = 7$米.
∴他应该往回收线7米.

24. (本题8分)[传统文化]明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一,其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯(如图①),其示意图如图②,已知AB = AC = 180 cm,AD = 160 cm,AC与AB的张角∠BAC记为α,为保证采桑人的安全,α可调整的范围是30°≤α≤60°,BC为固定张角α大小的锁链.
(1)求锁链BC长度的最大值;
(2)若α = 60°,将桑梯放置在水平地面上,求此时桑梯顶端D到地面的距离. (结果保留根号)

答案：
解：
(1)由题图得，当$\alpha = 60^{\circ}$，
即$\angle BAC = 60^{\circ}$时，锁链$BC$最长.
∵$AB = AC = 180\text{ cm}$，$\angle BAC = 60^{\circ}$，
∴$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$BC = AB = AC = 180\text{ cm}$.
∴锁链$BC$长度的最大值为180 cm.
(2)如答图，过点$D$作$DE\perp BC$，垂足为$E$.
∵$AB = AC = 180\text{ cm}$，$\angle BAC=\alpha = 60^{\circ}$，
∴$\angle C=\angle B = 60^{\circ}$.
∵$AD = 160\text{ cm}$，
∴$BD = AD + AB = 340\text{ cm}$.
在$Rt\triangle BDE$中，$\angle DBE = 60^{\circ}$，
∴$\angle BDE = 30^{\circ}$，
∴$BE=\frac{1}{2}BD = 170\text{ cm}$，
∴$DE=\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}=\sqrt{340^{2}-170^{2}}=170\sqrt{3}(\text{ cm})$.
∴桑梯顶端$D$到地面的距离为$170\sqrt{3}\text{ cm}$.

25. (本题9分)在△ABC中,AB = 2$\sqrt{5}$,AC = 4,BC = 2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.

答案：
解：
∵$AC = 4$，$BC = 2$，$AB = 2\sqrt{5}$，
又
∵$4^{2}+2^{2}=(2\sqrt{5})^{2}$，
∴$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$，
∴$\triangle ACB$为直角三角形，$\angle ACB = 90^{\circ}$.
分三种情况：
如答图①，过点$D$作$DE\perp CB$，垂足为$E$.
∵$DE\perp CB$，
∴$\angle BED=\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAB+\angle CBA = 90^{\circ}$.
∵$\triangle ABD$为等腰直角三角形，
∴$AB = BD$，$\angle ABD = 90^{\circ}$，
∴$\angle CBA+\angle EBD = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAB=\angle EBD$.
在$\triangle ACB$和$\triangle BED$中，
∵$\angle ACB=\angle BED$，$\angle CAB=\angle EBD$，$AB = BD$，
∴$\triangle ACB\cong\triangle BED$，
∴$BE = AC = 4$，$DE = BC = 2$，
∴$CE = 6$.
根据勾股定理，得$CD = 2\sqrt{10}$；
如答图②，过点$D$作$DE\perp CA$，垂足为$E$.
∵$BC\perp CA$，
∴$\angle AED=\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴$\angle EAD+\angle EDA = 90^{\circ}$.
∵$\triangle ABD$为等腰直角三角形，
∴$AB = AD$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，
∴$\angle CAB+\angle DAE = 90^{\circ}$，
∴$\angle BAC=\angle ADE$.
在$\triangle ACB$和$\triangle DEA$中，$\begin{cases}\angle ACB=\angle DEA,\\\angle CAB=\angle EDA,\\AB = DA,\end{cases}$
∴$\triangle ACB\cong\triangle DEA(AAS)$，
∴$DE = AC = 4$，$AE = BC = 2$，
∴$CE = 6$.
根据勾股定理，得$CD = 2\sqrt{13}$；
如答图③，过点$D$作$DE\perp CB$，垂足为$E$，
过点$A$作$AF\perp DE$，垂足为$F$，
∴$\angle DEB=\angle AFD = 90^{\circ}$，
∴$\angle BDE+\angle DBE = 90^{\circ}$.
∵$\triangle ABD$为等腰直角三角形，
∴$\angle ADB = 90^{\circ}$，$BD = AD$，
∴$\angle BDE+\angle ADF = 90^{\circ}$，
∴$\angle DBE=\angle ADF$，
∴$\triangle AFD\cong\triangle DEB$，
∴$AF = DE$，$DF = BE$.
由$\angle ACB=\angle CED=\angle AFE = 90^{\circ}$，
则四边形$CEFA$是长方形，故$CE = AF$，$EF = AC = 4$.
设$DF = x$，则$BE = x$，
故$EC = 2 + x$，$AF = DE = EF - DF = 4 - x$，
则$2 + x = 4 - x$，解得$x = 1$，
故$EC = DE = 3$，则$CD = 3\sqrt{2}$.
综上所述，$CD$的长是$2\sqrt{10}$或$2\sqrt{13}$或$3\sqrt{2}$.