《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

3. 如图,在菱形ABCD中,AB = 4,∠DAB = 60°,E是AD边的中点,M是AB边上的一个动点(且不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.
(1)求证:△NED≌△MEA;
(2)当AM为何值时,四边形AMDN是矩形? 并说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD为菱形,
∴ CD//AB,
∴ ∠DNE = ∠AME.
∵ E为AD的中点,
∴ DE = AE.
在△NED和△MEA中,$\begin{cases}\angle DNE=\angle AME,\\\angle DEN=\angle AEM,\\DE = AE\end{cases}$
∴ △NED≌△MEA(AAS).
(2)解:当AM = 2时,四边形AMDN是矩形.
理由如下:
由
(1)知△NED≌△MEA,
∴ NE = ME.
又
∵ DE = AE,
∴ 四边形AMDN是平行四边形.
∵ 在菱形ABCD中,AB = AD = 4,M为AB的中点
∴ AE = AM = 2.
又
∵ ∠DAB = 60°,
∴ △MEA为等边三角形,
∴ ME = AE = 2,
∴ MN = AD = 4,
∴ 平行四边形AMDN为矩形.