《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

20.(本题6分)(内江中考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF//BC交CE的延长线于点F.
(1)求证:FA = BD;
(2)连接BF,若AB = AC,求证:四边形ADBF是矩形.

答案： 证明：
(1)
∵AF//BC，
∴∠AFE = ∠DCE，∠FAE = ∠CDE.
∵E为AD的中点，
∴AE = DE，
∴△AEF≌△DEC，
∴AF = DC.
又
∵D为BC的中点，
∴BD = CD，
∴AF = BD.
(2)
∵AF = BD，AF//BD，
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵AB = AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB = 90°，
∴四边形ADBF是矩形.

21.(本题6分)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE ＜ BE),且∠EOF = 90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.
(1)求证:OM = ON;
(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.

答案：

(1)证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA = OB，∠DAO = 45°，∠OBA = 45°，
∴∠OAM = ∠OBN = 135°.
∵∠EOF = 90°，∠AOB = 90°，
∴∠AOM = ∠BON，
∴△OAM≌△OBN，
∴OM = ON.
(2)解：过点O作OH⊥AD于点H，如答图.
∵正方形ABCD的边长为4，
∴OH = HA = 2.
∵E为OM的中点，
∴A为HM的中点，
∴HM = 2HA = 4.
在Rt△MHO中，得OM = $\sqrt{2^{2}+4^{2}}$ = $2\sqrt{5}$，
∴易得MN = $2\sqrt{10}$

22.(本题6分)在□ABCD中,O是对角线BD的中点,点E在边BC上,EO的延长线与边AD交于点F,连接BF,DE.
(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;
(2)若∠CBD = 45°,DE = DC = 6,CE = 4,求BE的长.

答案：

(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线BD的中点，
∴AD//BC，BO = DO，
∴∠EBO = ∠FDO.
在△BOE和△DOF中，$\begin{cases}∠EBO = ∠FDO，\\BO = DO，\\∠BOE = ∠DOF，\end{cases}$
∴△BOE≌△DOF(ASA)，
∴DF = BE.
∵DF//BE，
∴四边形BEDF是平行四边形.
(2)解：如答图，过点D作DN⊥EC于点N.
∵DE = DC = 6，DN⊥EC，CE = 4，
∴EN = CN = 2，
∴DN = $\sqrt{DC^{2}-CN^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}-2^{2}}$ = $4\sqrt{2}$.
∵∠DBC = 45°，DN⊥BC，
∴∠DBC = ∠BDN = 45°，
∴DN = BN = $4\sqrt{2}$，
∴BE = BN - EN = $4\sqrt{2}-2$.