《2025年千里马单元测试卷八年级数学下册人教版》

25. (本题9分)如图，E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF//ED交AB于点F，DC = DE.
(1) 求证：四边形CDEF是菱形；
(2) 若BC = 3，CD = 5，求AG的长.

答案：

(1)证明：$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB// CD$。
$\because CF// ED$，
$\therefore$四边形$CDEF$是平行四边形。
$\because DC = DE$，$\therefore$四边形$CDEF$是菱形。
(2)解：如答图，连接$GF$。

$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AB = CD = 5$。
$\because$四边形$CDEF$是菱形，
$\therefore CF = CD = 5$，$\angle DCG=\angle FCG$。
$\because BC = 3$，$\therefore BF=\sqrt{CF^{2}-BC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
$\therefore AF = AB - BF = 5 - 4 = 1$。
在$\triangle CDG$和$\triangle CFG$中，$\begin{cases}CD = CF\\\angle DCG=\angle FCG\\CG = CG\end{cases}$，
$\therefore\triangle CDG\cong\triangle CFG(SAS)$，
$\therefore DG = FG$，
$\therefore FG = GD = AD - AG = 3 - AG$。
在$Rt\triangle FGA$中，根据勾股定理，得$FG^{2}=AF^{2}+AG^{2}$，
$\therefore(3 - AG)^{2}=1^{2}+AG^{2}$，
解得$AG=\frac{4}{3}$。