《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学下册人教版福建专版》

6. 已知函数$y = (|a| - 3)x^{2} + 2(a - 3)x$是关于$x$的正比例函数.
(1)求$a$的值；
(2)求正比例函数的解析式.

答案： 分析：因为已知函数$y=(|a|-3)x^{2}+2(a - 3)x$是关于$x$的正比例函数，所以$|a|-3 = 0$，$a - 3\neq0$.
解：
(1)由正比例函数的定义得：$|a|-3 = 0$，$a - 3\neq0$，解得$a = - 3$；
(2)把$a = - 3$代入$y=(|a|-3)x^{2}+2(a - 3)x$，得$y = - 12x$.

1. 下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是( )
A. (2，-3)，(-4，6)
B. (-2，3)，(4，6)
C. (-2，-3)，(4，-6)
D. (2，3)，(-4，6)

答案： A 解析：将两点的坐标分别代入$y_{1}=k_{1}x_{1}(k_{1}\neq0)$和$y_{2}=k_{2}x_{2}(k_{2}\neq0)$中，当$k_{1}=k_{2}$时，两个点在同一函数图象上.$\frac{-3}{2}=\frac{6}{-4}$，故点$(2,-3)$与$(-4,6)$可以在同一个正比例函数的图象上；因为$\frac{3}{-2}\neq\frac{6}{4}$，故点$(-2,3)$，$(4,6)$不在同一个正比例函数的图象上；因为$\frac{-3}{-2}\neq\frac{-6}{4}$，故点$(-2,-3)$，$(4,-6)$不在同一个正比例函数的图象上；因为$\frac{3}{2}\neq\frac{6}{-4}$，故点$(2,3)$，$(-4,6)$不在同一个正比例函数的图象上.

2. 下列函数中是正比例函数的是( )
A. $y = -6x$
B. $y = \frac{-3}{x}$
C. $y = \frac{1}{2}x^{2} + 8$
D. $y = -2x + 1$

答案： A 解析：$y = - 6x$符合$y = kx(k\neq0)$，故A是正比例函数；$y=\frac{-3}{x}$分母中含有未知数，故B不是正比例函数；$y=\frac{1}{2}x^{2}+8$中$x$的指数是$2$，故C不是正比例函数；$y = - 2x + 1$，常数项不为$0$，故D不是正比例函数.

3. 对于函数$y = k^{2}x$($k$是常数，$k≠0$)的图象，下列说法不正确的是( )
A. 是一条直线
B. 过点$(\frac{1}{k},k)$
C. 经过二、四象限
D. $y$随着$x$的增大而增大

答案： C 解析：因为函数$y = k^{2}x$（$k$为常数，$k\neq0$）是正比例函数，且$k^{2}＞0$，所以该函数图象是过第一、三象限的一条直线，且$y$随$x$的增大而增大，当$x=\frac{1}{k}$时，$y = k^{2}\cdot\frac{1}{k}=k$，因此点$(\frac{1}{k},k)$在这个函数的图象上，故选C.

4. 已知正比例函数$y = kx$($k≠0$)的图象如图19 - 2 - 1所示，则$k$值可能是 ( )

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： B 解析：根据图象，得$2k＜6$，$3k＞5$，解得$k＜3$，$k＞\frac{5}{3}$，所以$\frac{5}{3}＜k＜3$，只有B选项符合.

5. 函数$y = kx$($k≠0$)的图象过点$P(-3,3)$，则$k =$______，图象过第______象限.

答案： $-1$ 二、四 解析：把点$P(-3,3)$的坐标代入$y = kx(k\neq0)$，得$3 = - 3k$，解得$k = - 1$.

6. 函数$y = 5x + b^{2} - 9$的图象经过原点，则$b =$______.

答案： $\pm3$ 解析：因为函数$y = 5x + b^{2}-9$的图象经过原点，所以$b^{2}-9 = 0$，解得$b=\pm3$.

7. 已知正比例函数$y = kx$($k≠0$)，点(2，-3)在该函数的图象上，则$y$随$x$的增大而______(填“增大”或“减小”).

答案： 减小 解析：当$x = 2$时，$y = - 3$，$\therefore2k = - 3$，即$k = -\frac{3}{2}＜0$，$\therefore y = -\frac{3}{2}x$中$y$随$x$的增大而减小.

8. 写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：______.

答案： $y = - x$（答案不唯一） 解析：设此正比例函数的解析式为$y = kx(k\neq0)$，$\because$此正比例函数的图象经过二、四象限，$\therefore k＜0$，$\therefore$符合条件的正比例函数解析式可以为$y = - x$（答案不唯一）.

9. 已知函数$y = (2m - 1)x^{m^{2} - 3}$的图象是一条过原点的直线，且$y$随$x$的增大而减小，求$m$的值.

答案： 分析：因为函数的图象是过原点的直线，所以函数是正比例函数，故自变量$x$的指数为$1$，即$m^{2}-3 = 1$，所以$m=\pm2$. 又因为$y$随$x$的增大而减小，所以$2m - 1＜0$，所以$m＜\frac{1}{2}$，故$m$的值为$-2$.
解：$\because$函数的图象是过原点的直线且$y$随$x$的增大而减小，$\therefore\begin{cases}m^{2}-3 = 1\\2m - 1＜0\end{cases}$，解得$m = - 2$.

10. 已知点(2，-4)在正比例函数$y = kx$的图象上.
(1)求$k$的值；
(2)若点(-1，$m$)在函数$y = kx$的图象上，试求出$m$的值；
(3)若点$A(\frac{1}{2},y_{1})$，$B(-2,y_{2})$，$C(1,y_{3})$都在此函数图象上，试比较$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的大小.

答案： 分析：
(1)代入点$(2,-4)$的坐标可以求出$k$的值；
(2)把点$(-1,m)$代入
(1)中求出的解析式，就能求出$m$的值；
(3)将$A$，$B$，$C$三点坐标分别代入解析式求出$y_{1}$，$y_{2}$，$y_{3}$的值，然后比较大小，或利用函数的性质比较大小.
解：
(1)把点$(2,-4)$的坐标代入正比例函数$y = kx$，得$-4 = 2k$，解得$k = - 2$.
(2)把点$(-1,m)$的坐标代入$y = - 2x$，得$m = 2$.
(3)方法1：因为函数$y = - 2x$中，$y$随$x$的增大而减小，$-2＜\frac{1}{2}＜1$，所以$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$.
方法2：$y_{1}=(-2)\times\frac{1}{2}=-1$，$y_{2}=(-2)\times(-2)=4$，$y_{3}=(-2)\times1=-2$，所以$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$.