《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学下册人教版福建专版》

3. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列说法错误的是( )
A. 若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC是直角三角形
B. 若$c^{2}=b^{2}-a^{2}$，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 若(c + a)(c - a) = $b^{2}$，则△ABC是直角三角形
D. 若∠A：∠B：∠C = 5：2：3，则△ABC是直角三角形

答案： B 解析：若$c^{2}=b^{2}-a^{2}$，则$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，所以$\triangle ABC$是以$\angle B$为直角的直角三角形。

4. “直角三角形中两锐角互余”这一命题的逆命题是______________________________.

答案： 有两个角互余的三角形是直角三角形

5. 问：一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢（即直角三角形的判定方法有哪些）？
答：(1)如果有一个内角是________，那么它是直角三角形；
(2)如果有两个内角的和是________，那么这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形的三边长a，b，c(c＞a，c＞b)满足________，那么这个三角形是直角三角形.

答案：
(1)$90^{\circ}$
(2)$90^{\circ}$
(3)$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

6. 已知一个三角形的三边长之比为5：12：13，且周长为60 cm，则它的面积是________$cm^{2}$.

答案： 120 解析：设三角形的一边长为$5a\ cm$，则其余两边长分别为$12a\ cm$，$13a\ cm$。由题意，得$(5a)^{2}+(12a)^{2}=169a^{2}=(13a)^{2}$，所以三角形为直角三角形。又因为$5a + 12a+13a = 60$，所以$a = 2$，所以它的面积为$\frac{1}{2}\times10\times24 = 120(cm^{2})$。

1. 已知三角形的三边长分别为a，b，c，且a，b，c满足$(a + b)^{2}-c^{2}=2ab$，则此三角形是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等边三角形

答案： B 解析：因为$(a + b)^{2}-c^{2}=2ab$，所以$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$，即$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以此三角形是直角三角形。

2. 如图17-2-1所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长是无理数的边数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C 解析：因为$AB=\sqrt{5^{2}+1^{2}}=\sqrt{26}$，$BC=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$，$AC=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，故选 C。

3. 已知a，b，c是三角形的三边长，如果$(a - 5)^{2}+|b - 12|+c^{2}-26c + 169 = 0$，那么△ABC( )
A. 是以a为斜边长的直角三角形
B. 是以b为斜边长的直角三角形
C. 是以c为斜边长的直角三角形
D. 不是直角三角形

答案： C 解析：因为$a,b,c$是三角形的三边长，且满足$(a - 5)^{2}+\vert b - 12\vert+c^{2}-26c + 169 = 0$，即$(a - 5)^{2}+\vert b - 12\vert+(c - 13)^{2}=0$，所以$a - 5 = 0$，$b - 12 = 0$，$c - 13 = 0$，解得$a = 5$，$b = 12$，$c = 13$。根据勾股定理的逆定理可以判定$\triangle ABC$是直角三角形，且斜边长为$c$。

4. 如图17-2-2所示，A，B，C分别表示三个村庄，AB = 1 000 m，BC = 600 m，AC = 800 m. 在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在( )

A. AB中点
B. BC中点
C. AC中点
D. ∠C的平分线与AB的交点

答案： A 解析：因为$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，所以$\triangle ABC$为直角三角形。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出到$A$，$B$，$C$三点距离相等的点是$AB$的中点。

5. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12(单位：cm)，若取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度可以为( )
A. 2，4，8
B. 4，8，10
C. 6，8，10
D. 8，10，12

答案： C 解析：要搭成一个直角三角形，三根木棒的长度必须满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，而$2^{2}+4^{2}\neq8^{2}$，$4^{2}+8^{2}\neq10^{2}$，$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，$8^{2}+10^{2}\neq12^{2}$，所以这三根木棒的长度(单位：$cm$)分别为$6,8,10$，故选 C。

6. 以△ABC的三边为边向外作正方形，依次得到的正方形的面积为36，64，100，则这个三角形是________.

答案： 直角三角形 解析：由题意，得$\triangle ABC$的三边长分别为$6,8,10$，而$6^{2}+8^{2}=10^{2}$，故该三角形为直角三角形。

7. 已知a，b，c为△ABC的三边，且满足$a^{2}+b^{2}+c^{2}+50 = 6a + 8b + 10c$，则△ABC为________三角形.

答案： 直角 解析：原式可变形为$(a^{2}-6a + 9)+(b^{2}-8b + 16)+(c^{2}-10c + 25)=0$，即$(a - 3)^{2}+(b - 4)^{2}+(c - 5)^{2}=0$，所以$\begin{cases}a - 3 = 0\\b - 4 = 0\\c - 5 = 0\end{cases}$，所以$\begin{cases}a = 3\\b = 4\\c = 5\end{cases}$。因为$a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25$，$c^{2}=5^{2}=25$，所以$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，故$\triangle ABC$为直角三角形。

8. 如图17-2-3所示，在四边形ABCD中，AB = BC = 2，CD = 3，AD = 1，且AB⊥BC，则∠A的度数为________.

答案： $135^{\circ}$ 解析：连接$AC$，可根据勾股定理求得$AC^{2}=8$。因为$AC^{2}+AD^{2}=8 + 1^{2}=9$，$CD^{2}=3^{2}=9$，所以$AC^{2}+AD^{2}=CD^{2}$。所以$\triangle ACD$是直角三角形。所以$\angle CAD = 90^{\circ}$。又因为$AB = BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，所以$\angle BAC = 45^{\circ}$。所以$\angle BAD=\angle BAC+\angle CAD = 45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$。