《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学下册人教版福建专版》

4. 已知线段AB与CD相交于一点O，且AB=CD，当点O是______时，四边形ACBD是矩形.

答案： AB，CD的中点

5. 若一个四边形有三个直角，且其中两边的长分别为3 cm，4 cm，则这个四边形的两条对角线的长的和为______.

答案： 10 cm 解析：因为四边形有三个角是直角，所以该四边形是矩形，所以其对角线长是$\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$（cm）. 因为矩形的对角线相等，所以其两条对角线的长的和为$5×2 = 10$（cm）.

6. 如图18-2-12所示，在△ABC中，D是AB上一点，且AD=CD=BD，DE，DF分别是∠BDC和∠ADC的平分线，求证：四边形CFDE是矩形.

答案： 证明：
∵$AD = CD$，
∴$\triangle ADC$是等腰三角形.
∵$DF$平分$\angle ADC$，
∴$DF\perp AC$，
∴$\angle DFC = 90^{\circ}$.
同理，$\angle DEC = 90^{\circ}$.
∵$DF$平分$\angle ADC$，
∴$\angle FDC=\frac{1}{2}\angle ADC$.
同理，$\angle EDC=\frac{1}{2}\angle BDC$，
∴$\angle FDC+\angle EDC=\frac{1}{2}(\angle ADC+\angle BDC)=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$，
∴$\angle FDE = 90^{\circ}$，
∴四边形$CFDE$是矩形.

1. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是（ ）
A. 对角线互相平分
B. 对角线互相垂直平分
C. 对角线相等
D. 对角线互相平分且相等

答案： D

2. 下列命题错误的是（ ）
A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
B. 有三个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形

答案： C

3. 四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中不能判定它是矩形的是（ ）
A. AB=CD，AB//CD，∠BAD=90°
B. AO=CO，BO=DO，AC=BD
C. ∠BAD = ∠ABC = 90°，∠BCD + ∠ADC=108°
D. ∠BAD = ∠BCD = 90°，∠ABC = ∠ADC=90°

答案： C

4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形的门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的四位同学拟订的方案，其中正确的是（ ）
A. 测量对角线是否互相平分
B. 测量两组对边是否分别相等
C. 测量一组对角是否都为直角
D. 测量其中三个角是否为直角

答案： D

5. 如图18-2-13所示，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，则下面条件能判定□ABCD是矩形的是（ ）

A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AC平分∠BAD
D. AB=AD

答案： A 解析：对角线相等的平行四边形是矩形.

6. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相平分，交点为O，在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需要添加一个条件，这个条件可以是____________________.

答案： $AC = BD$或$\angle BAD = 90^{\circ}$（答案不唯一）

7. 如图18-2-14所示，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，△AOD是等边三角形，AD=4，则□ABCD的面积是______.

答案： $16\sqrt{3}$ 解析：
∵$\triangle AOD$是等边三角形，
∴$OD = OA$.
又
∵$AC$与$BD$是$\square ABCD$的对角线，
∴$OA=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}BD$，
∴$AC = BD$，
∴$\square ABCD$是矩形.
∵$AD = 4$，
∴$OD = OA = AD = 4$，
∴$AC = 8$.
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}} = 4\sqrt{3}$，
∴$S_{\square ABCD}=4\sqrt{3}×4 = 16\sqrt{3}$.

8. 已知M是矩形ABCD中AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________时，四边形PEMF为矩形.

答案：
$AB=\frac{1}{2}BC$ 解析：如图D - 18 - 12所示，
∵$M$为$AD$的中点，
∴$MA = MD$.
当$AB=\frac{1}{2}BC$时，
$AB = MA = MD$.
∵$\angle A = 90^{\circ}$，
∴$\angle ABM=\angle AMB = 45^{\circ}$.
同理，$\angle DMC=\angle DCM = 45^{\circ}$，
∴$\angle AMB+\angle DMC = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$，
∴$\angle BMC = 90^{\circ}$，
∴四边形$PEMF$为矩形.