《2025年阳光课堂金牌练习册八年级数学下册人教版福建专版》

9. 如图18-2-15所示，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形△ABD和△BCD组成的，点M，N分别为边BC，AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.

答案： 证明：
∵$\triangle ABD$是等边三角形，$N$是$AD$的中点，
∴$\angle BND = 90^{\circ}$，$\angle NBD = 30^{\circ}$.
∵$\triangle BCD$是等边三角形，$M$是$BC$的中点，
∴$\angle BMD = 90^{\circ}$，$\angle DBM = 60^{\circ}$，
∴$\angle NBM = 90^{\circ}$.
∴$\angle BND=\angle BMD=\angle NBM = 90^{\circ}$，
∴四边形$BMDN$是矩形.

10. 如图18-2-16所示，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F.
（1）求证：△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC，BE，求证：四边形ABEC是矩形.

答案： （1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// DC$，$AB = DC$.
∴$\angle ABF=\angle ECF$.
∵$EC = DC$，
∴$AB = EC$.
在$\triangle ABF$和$\triangle ECF$中，
∵$\angle ABF=\angle ECF$，$\angle AFB=\angle EFC$，$AB = EC$，
∴$\triangle ABF\cong\triangle ECF$.
（2）证法1：
∵$AB = EC$，$AB// EC$，
∴四边形$ABEC$是平行四边形.
∴$FA = FE$，$FB = FC$.
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$\angle ABC=\angle D$.
又
∵$\angle AFC = 2\angle D$，
∴$\angle AFC = 2\angle ABC$.
∵$\angle AFC=\angle ABF+\angle BAF$，
∴$\angle ABF=\angle BAF$.
∴$FA = FB$.
∴$FA = FE = FB = FC$.
∴$AE = BC$.
∴$\square ABEC$是矩形.
证法2：
∵$AB = EC$，$AB// EC$，
∴四边形$ABEC$是平行四边形.
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$\angle D=\angle BCE$.
又
∵$\angle AFC = 2\angle D$，
∴$\angle AFC = 2\angle BCE$.
∵$\angle AFC=\angle FCE+\angle FEC$，
∴$\angle FCE=\angle FEC$.
∴$\angle D=\angle FEC$.
∴$AE = AD$.
又
∵$CE = DC$，
∴$AC\perp DE$，即$\angle ACE = 90^{\circ}$.
∴$\square ABEC$是矩形.

1. 平行四边形的对边______，对角______，对角线______.

答案： 平行且相等 相等 互相平分

2. 线段的垂直平分线的性质：______________________________.

答案： 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

3. ______________________________叫作轴对称图形.

答案： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形

4. 矩形的四个角都是__________，对角线__________.

答案： 直角 相等且互相平分

5. 如图18-2-17所示，平移平行四边形的一条边，使它与相邻的一条边相等，那么得到一个特殊的平行四边形.

这个特殊的平行四边形叫作菱形，由此可得，有一组邻边______的平行四边形叫作菱形.

答案： 相等