《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

3.(2023·蚌埠蚌山区模拟)如图，直线$y=-x+m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象在第一象限内交于$A,B$两点，$x$轴上的点$C$满足$BC = OB$.
　(1)若点$A$的坐标为$(4,1)$，求点$B$的坐标.
　(2)若△OBC的面积为$\frac{k^2}{2}$，求实数$k$的值.
　(3)设点$A,B$的坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，求$x_1 - y_2$的值.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵直线$y=-x + m$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象在第一象限内交于$A$，$B$两点，点$A$的坐标为$(4,1)$，
∴$1=-4 + m$，$1=\frac{k}{4}$.
∴$m = 5$，$k = 4$.
∴直线的解析式为$y=-x + 5$，反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$. 联立$\begin{cases}y=-x + 5\\y=\frac{4}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 4\\y = 1\end{cases}$或$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$.
∴$B(1,4)$.
(2) 过点$B$作$BD\perp OC$于点$D$.
∵$BC = OB$，
∴$BD$平分$OC$.
∵$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}k$，
∴$S_{\triangle OBC}=2\times\frac{1}{2}k = k$.
∵$S_{\triangle OBC}=\frac{k^2}{2}$，
∴$\frac{k^2}{2}=k$，即$k^2-2k = 0$. 解得$k = 2$或$k = 0$(舍去).
∴实数$k$的值为$2$.
(3) 由题意可得，点$A$，$B$关于直线$y = x$对称，
∴$y_2=x_1$.
∴$x_1-y_2 = 0$.

4.【运算能力】(2023·合肥38中期中)如图，一次函数$y = 2x$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点$A(4,n)$.将点$A$沿$x$轴正方向平移$m$个单位长度得到点$B$，$D$为$x$轴正半轴上的点，点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标，连接$BD$，$BD$的中点$C$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上.
　(1)求$n,k$的值.
　(2)当$m$为何值时，$AB\cdot OD$的值最大？最大值是多少？
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1) 将点$A(4,n)$代入$y = 2x$，得$n = 2\times4 = 8$，
∴$A(4,8)$. 将点$A(4,8)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k = 4\times8 = 32$.
(2)
∵点$B$的横坐标大于点$D$的横坐标，
∴点$B$在点$D$的右侧. 过点$C$作直线$EF\perp x$轴于点$F$，交$AB$于点$E$. 由平移的性质，得$AB// x$轴，$AB = m$，
∴$\angle B=\angle CDF$.
∵$C$为$BD$的中点，
∴$BC = DC$. 在$\triangle ECB$和$\triangle FCD$中，$\begin{cases}\angle B=\angle CDF\\BC = DC\\\angle BCE=\angle DCF\end{cases}$，
∴$\triangle ECB\cong\triangle FCD(ASA)$.
∴$BE = DF$，$CE = CF$.
∵$AB// x$轴，点$A$的坐标为$(4,8)$，
∴$EF = 8$.
∴$CE = CF = 4$.
∴点$C$的纵坐标为$4$.
∵点$C$在反比例函数$y=\frac{32}{x}$的图象上，
∴点$C$的坐标为$(8,4)$.
∴$E(8,8)$，$F(8,0)$.
∴点$B$的坐标为$(m + 4,8)$.
∴$DF = BE = m + 4 - 8 = m - 4$.
∴$OD = 8-(m - 4)=12 - m$.
∴$AB\cdot OD=m(12 - m)=-(m - 6)^2+36$.
∵$-1＜0$，
∴当$m = 6$时，$AB\cdot OD$取得最大值，最大值为$36$.