《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

1.(2023·阜阳颍州区期末)如图，已知反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象与一次函数$y_2=k_2x+b$的图象相交于$A(-1,3),B(3,n)$两点.
　(1)求反比例函数与一次函数的解析式.
　(2)求△AOB的面积.
　(3)直接写出当$y_1＞y_2$时，对应的$x$的取值范围.
　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)
∵反比例函数$y_1=\frac{k_1}{x}$的图象过点$A(-1,3)$，
∴$k_1=(-1)\times3=-3$.
∴反比例函数的解析式为$y_1=-\frac{3}{x}$.
∵反比例函数$y_1=-\frac{3}{x}$的图象过点$B(3,n)$，
∴$n=-\frac{3}{3}=-1$.
∴$B(3,-1)$.
∵直线$y_2=k_2x + b$过点$A(-1,3)$，$B(3,-1)$，
∴$\begin{cases}-k_2 + b = 3\\3k_2 + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_2 = -1\\b = 2\end{cases}$.
∴一次函数的解析式为$y_2=-x + 2$.
(2) 设一次函数的图象与$y$轴交于点$C$，与$x$轴交于点$D$. 在$y_2=-x + 2$中，当$x = 0$时，$y_2 = 2$；当$y_2 = 0$时，$x = 2$.
∴$C(0,2)$，$D(2,0)$.
∴$S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle ODB}=\frac{1}{2}\times2\times1+\frac{1}{2}\times2\times2+\frac{1}{2}\times2\times1 = 4$.
(3) 当$y_1＞y_2$时，$-1＜x＜0$或$x＞3$.

2.(2023·合肥42中期末)如图，一次函数$y = x + 3$的图象与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点，与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象交于$C(1,n),D$两点.

(2)在$x$轴上是否存在一点$P$，使$S_{\triangle ACP}=2S_{\triangle OCD}$？若存在，请求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由.

答案： 解：
(1)
∵点$C(1,n)$在一次函数$y = x + 3$的图象上，
∴$n = 1 + 3 = 4$.
∴$C(1,4)$.
∵点$C(1,4)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}(m＞0)$的图象上，
∴$m = 1\times4 = 4$.
∴反比例函数的解析式为$y=\frac{4}{x}$. 联立$\begin{cases}y=\frac{4}{x}\\y = x + 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = -4\\y = -1\end{cases}$.
∴点$D$的坐标为$(-4,-1)$.
(2) 在$y = x + 3$中，令$y = 0$，则$x = -3$.
∴$A(-3,0)$，即$OA = 3$.
∴$S_{\triangle OCD}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOD}=\frac{1}{2}\times3\times4+\frac{1}{2}\times3\times1=\frac{15}{2}$. 设点$P$的坐标为$(n,0)$，则$PA=\vert n-(-3)\vert$.
∵$S_{\triangle ACP}=2S_{\triangle OCD}=2\times\frac{15}{2}=15$，
∴$S_{\triangle ACP}=\frac{1}{2}\times4\times\vert n + 3\vert = 15$.
∴$n + 3=\frac{15}{2}$或$n + 3=-\frac{15}{2}$，解得$n=\frac{9}{2}$或$n=-\frac{21}{2}$.
∴点$P$的坐标为$(\frac{9}{2},0)$或$(-\frac{21}{2},0)$.