《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

13.(2024·安徽模拟)用某型号拖把去拖沙发底部地面的截面示意图如图所示，拖把头为矩形ABCD，AB = 16 cm，DA = 2 cm.该沙发与地面的空隙为矩形EFGH，EF = 55 cm，HE = 12 cm.拖把杆为线段OM，长为45 cm，O为DC的中点，OM与DC所成角α的可变范围是14°≤α≤90°，当α大小固定时，若OM经过点G，或点A与点E重合，则此时AF的长即为沙发底部可拖最大深度.
(1)如图1，当α = 30°时，求沙发底部可拖最大深度AF的长.(结果保留根号)
(2)如图2，为了能将沙发底部地面拖干净，将α减小到14°，请通过计算，判断此时沙发底部可拖最大深度AF的长能否达到55 cm?（sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）
　

答案： 解:
(1)设DC的延长线交GF于点N.
∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，HE=12cm，AB=16cm，
∴∠A=∠D=∠F =90°，CD=AB=16cm，GF=HE=12cm.
∴四边形ADNF是矩形.
∴NF=AD=2cm，∠DNF=90°，AF=DN.
∴∠ONG=90°，GN=GF-NF=12-2=10(cm).
∵∠GON=α=30°，
∴ON=10$\sqrt{3}$cm.
∵O是CD的中点，
∴OD=8cm.
∴DN=OD+ON=(8+10$\sqrt{3}$)cm.
∴AF=(8+10$\sqrt{3}$)cm.答:沙发底部可拖最大深度AF的长为(8+10$\sqrt{3}$)cm.
(2)设DC的延长线交GF 于点N，由
(1)得，∠ONG=90°，GN=10cm，OD=8cm.
∵∠GON=∠α=14°，
∴ON=$\frac{GN}{tanGON}$=$\frac{10}{tan14°}$≈10÷0.25=40(cm).
∴DN=OD+ON=8+40=48(cm).
∵48＜55，
∴此时沙发底部可拖最大深度AF的长不能达到55cm.

14.【数学文化】(2024·成都)中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺.在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD.已知∠ACB = 73.4°，∠ADB = 26.6°，求春分和秋分时日影长度(结果精确到0.1尺，参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，cos73.4°≈0.29，tan73.4°≈3.35).
　

答案： 解:在Rt△ABC中，AB=8尺，∠ACB=73.4°.
∴tan73.4°=$\frac{8}{BC}$.
∵tan73.4°≈3.35，
∴BC≈$\frac{8}{3.35}$≈2.4(尺).在Rt△ABD 中，AB=8尺，∠ADB=26.6°，
∴tan26.6°=$\frac{8}{BD}$.
∵tan26.6°≈0.50，
∴BD≈16.0尺.
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，
∴春分和秋分时日影长度为$\frac{2.4+16.0}{2}$=9.2(尺).