《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

11.（2024·连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为 （ ）

A. 甲和乙
B. 乙和丁
C. 甲和丙
D. 甲和丁

答案： D

12. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折. 若得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是 （ ）


A. 2：1
B. 3：1
C. 3：2
D. $\sqrt{2}$：1

答案： D

13.（1）若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{2}{3}$，且b + d≠0，则$\frac{a + c}{b + d}=$______.
（2）（2023·合肥蜀山区期末）已知$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$，则$\frac{a}{a + b}=$________.

答案：
(1)$\frac{2}{3}$　
(2)$\frac{3}{8}$

14. 已知三条线段的长分别为1 cm，2 cm，$\sqrt{2}$ cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为____________________.

答案： $\sqrt{2}$cm或2$\sqrt{2}$cm或$\frac{\sqrt{2}}{2}$cm

15.（教材 P28 习题 T5 变式）如图，DE//BC，BD，CE相交于点A，DE = 3，BC = 9，AD = 1.5，AB = 4.5，AE = 1.8，AC = 5.4.

（1）求$\frac{AD}{AB}$，$\frac{AE}{AC}$，$\frac{DE}{BC}$的值.
（2）求证：△ADE与△ABC相似.

答案： 解:
(1)$\frac{AD}{AB}=\frac{1.5}{4.5}=\frac{1}{3}$，$\frac{AE}{AC}=\frac{1.8}{5.4}=\frac{1}{3}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.
(2)证明:
∵DE//BC，
∴∠D=∠B，∠E=∠C. 又
∵∠DAE = ∠BAC，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$，
∴△ADE与△ABC相似.

16.（教材 P28 习题 T6 变式）已知长AB = 30，宽BC = 20的矩形黑板ABCD.

（1）如图1，若矩形黑板ABCD四周有宽为1的边框区域，则图中所形成的两个矩形ABCD与A′B′C′D′相似吗？请说明理由.
（2）如图2，当x为多少时，图中的矩形ABCD与矩形A′B′C′D′相似？

答案： 解:
(1)不相似，理由如下:AB = 30，A'B' = 30 - 1 - 1 = 28，BC = 20，B'C' = 20 - 1 - 1 = 18，而$\frac{28}{30}\neq\frac{18}{20}$，$\frac{28}{20}\neq\frac{18}{30}$，即$\frac{A'B'}{AB}\neq\frac{B'C'}{BC}$，$\frac{A'B'}{BC}\neq\frac{B'C'}{AB}$. 故矩形ABCD与矩形A'B'C'D'不相似.
(2)若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似，则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$，即$\frac{30 - 2x}{30}=\frac{20 - 2}{20}$或$\frac{30 - 2x}{20}=\frac{20 - 2}{30}$，解得x = 1.5或9. 故当x = 1.5或9时，矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似.

17.【方程思想】如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上. 若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为$\frac{\sqrt{5}}{3}$，则$\frac{AE}{BE}$（AE＜BE）的值为_______.

答案： $\frac{1}{2}$