《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

13. (7分)计算:tan45°sin²60° - 4sin30°cos45° + $\sqrt{6}$tan30°.

答案： 解：原式 = 1×($\frac{\sqrt{3}}{2}$)² - 4×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$ + $\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{3}{4}$ - $\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ = $\frac{3}{4}$。

14. (10分)在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对边的长分别为a,b,c,根据下列条件解直角三角形:
(1)已知c = 20,∠A = 60°.
(2)已知a = $\sqrt{15}$,b = $\sqrt{5}$.

答案： 解：
(1)
∵∠A = 60°，∠C为直角，
∴∠B = 90° - 60° = 30°。
∵c = 20，∠B = 30°，
∴b = $\frac{c}{2}$ = 10，a = $\sqrt{20^{2} - 10^{2}}$ = 10$\sqrt{3}$。
(2)
∵∠C为直角，a = $\sqrt{15}$，b = $\sqrt{5}$，
∴c = $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ = $\sqrt{15 + 5}$ = 2$\sqrt{5}$。
∵sinB = $\frac{b}{c}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{1}{2}$，
∴∠B = 30°。
∴∠A = 90° - 30° = 60°。

15. (11分)如图,在△ABC中,∠C = 90°,点D在BC上,BD = 4,AD = BC,cos∠ADC = $\frac{3}{5}$.
(1)求CD的长.
(2)求tanB的值.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)在Rt△ACD中，cos∠ADC = $\frac{CD}{AD}$ = $\frac{3}{5}$。
∴设CD = 3x，AD = BC = 5x，根据勾股定理，得AC = $\sqrt{AD^{2} - CD^{2}}$ = 4x。
∵BD = 4，
∴5x - 3x = 4，解得x = 2。
∴CD = 3x = 6。
(2)
∵在Rt△ABC中，AC = 4x = 8，BC = 5x = 10，
∴tanB = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{8}{10}$ = $\frac{4}{5}$。

16. (12分)如图,AB为⊙O的直径,C,F为⊙O上两点,且点C为$\overset{\frown}{BF}$的中点,过点C作AF的垂线,交AF的延长线于点E,交AB的延长线于点D.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)若⊙O的半径为3,tanD = $\frac{3}{4}$,求AE的长.
　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)证明：连接OC。
∵点C为$\overset{\frown}{BF}$的中点，
∴$\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{CF}$。
∴∠BAC = ∠FAC。
∵OA = OC，
∴∠OCA = ∠BAC。
∴∠OCA = ∠FAC。
∴OC//AE。
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE。又
∵OC是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线。
(2)在Rt△OCD中，
∵tanD = $\frac{OC}{CD}$ = $\frac{3}{4}$，OC = 3，
∴CD = 4。
∴OD = $\sqrt{OC^{2} + CD^{2}}$ = 5。
∴AD = OD + AO = 8。在Rt△ADE中，
∵sinD = $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{OC}{OD}$ = $\frac{3}{5}$，
∴AE = $\frac{24}{5}$。