《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

13. 如图,将三角形纸片$ABC$按如图所示的方式折叠,使点$B$落在边$AC$上,记为点$B'$,折痕为$EF$,已知$AB = 3$,$AC = 4$,$BC = 5$.若以$B'$,$F$,$C$为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似,则$CF$的长是__________.

答案： $\frac{25}{8}$ 或 $\frac{20}{7}$

14. (8分)如图,$D$,$E$分别是$AB$,$AC$上的点,$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$,相似比是$\frac{2}{5}$,$DE = 4\ cm$,$\angle C = 30^{\circ}$,求$BC$,$\angle AED$.

答案： 解：$\because\triangle ADE\sim\triangle ABC$，$\therefore\angle AED=\angle C = 30^{\circ}$，$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$。$\because DE = 4$ cm，$\therefore BC = 10$ cm。

15. (12分)(1)判断图1、图2中的两个三角形是否相似.
(2)求图2中$x$和$y$的值.

答案： 解：
(1) 图 1：设小正方形的边长为 1，则 $AB = 2$，$BC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，$EF = 2$，$DE=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$。$\therefore\frac{BC}{EF}=\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\sqrt{2}$。$\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF$。
图 2：$\because\frac{CD}{CB}=\frac{CE}{CA}=\frac{26}{39}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$，$\angle ACB=\angle ECD$，$\therefore\triangle ABC\sim\triangle EDC$。
(2) $\because\triangle ABC\sim\triangle EDC$，$\therefore\angle B=\angle D = 98^{\circ}$，即 $y = 98$。$\therefore\frac{DE}{BA}=\frac{CD}{CB}$，即 $\frac{27}{x}=\frac{26}{39}$，解得 $x = 40.5$。

16. (13分)如图,在$\triangle ABC$中,$CD$是边$AB$上的高,且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
(1)求证:$\triangle ACD\backsim\triangle CBD$.
(2)求$\angle ACB$的度数.

答案： 解：
(1) 证明：$\because CD$ 是边 $AB$ 上的高，$\therefore\angle ADC=\angle CDB = 90^{\circ}$。$\because\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$。$\therefore\triangle ACD\sim\triangle CBD$。
(2) $\because\triangle ACD\sim\triangle CBD$，$\therefore\angle A=\angle BCD$。在 $\triangle ACD$ 中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A+\angle ACD = 90^{\circ}$。$\therefore\angle BCD+\angle ACD = 90^{\circ}$，即 $\angle ACB = 90^{\circ}$。

17. (15分)如图,在$\triangle ABC$中,以$AB$为直径作$\odot O$,交边$AC$于点$E$,交边$BC$于点$D$,连接$DE$,$AD$,$BE$相交于点$F$.
(1)求证:$\triangle CDE\backsim\triangle CAB$.
(2)若$EF = 2$,$AF = BF = 6$,求$CE$的长.

答案： 解：
(1) 证明：$\because\angle ABC+\angle AED = 180^{\circ}$，$\angle AED+\angle DEC = 180^{\circ}$，$\therefore\angle ABC=\angle DEC$。又 $\because\angle C=\angle C$，$\therefore\triangle CDE\sim\triangle CAB$。
(2) $\because\angle BAD=\angle BED$，$\angle ABE=\angle ADE$，$\therefore\triangle DEF\sim\triangle BAF$。$\therefore\frac{DE}{BA}=\frac{EF}{AF}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。$\because\triangle CDE\sim\triangle CAB$，$\therefore\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB}=\frac{1}{3}$。设 $CE = x$，则 $CB = 3x$。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore\angle AEB = 90^{\circ}$。$\therefore\angle BEC = 90^{\circ}$。$\because EF = 2$，$BF = 6$，$\therefore BE = 8$。在 $Rt\triangle BEC$ 中，$BE^{2}+CE^{2}=BC^{2}$，即 $8^{2}+x^{2}=(3x)^{2}$，解得 $x_{1}=2\sqrt{2}$，$x_{2}=-2\sqrt{2}$(舍去)。$\therefore CE = 2\sqrt{2}$。