《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

4.(2023·张家界)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色.某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如下：如图，先将无人机垂直上升至距水平地面225 m的点P处，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200 m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度.(结果精确到1 m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)
　　

答案： 解：延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ = 90°，根据题意，得BC = 225 m，PQ = 200 m，在Rt△BCQ中，∠BQC = 45°，
∴CQ = BC = 225 m.
∴PC = PQ + CQ = 425 m. 在Rt△PCA中，$\tan\angle APC=\tan15^{\circ}=\frac{AC}{PC}=\frac{AC}{425}\approx0.27$，
∴AC = 114.75 m.
∴AB = BC - AC = 225 - 114.75 = 110.25≈110(m). 答：奇楼AB的高度约为110 m.

5.如图，一楼房AB后有一假山CD，CD的坡度i = 1∶2，山坡坡面上点E处有一休息亭，测得假山山脚与楼房的水平距离BC = 24米，与休息亭的距离CE = 8$\sqrt{5}$米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为43°.
　(1)求点E到水平地面的距离.
　(2)求楼房AB的高.(结果精确到0.1米，参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93)
　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵CD的坡度i = 1 : 2，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$.
∴设EF = x米，则CF = 2x米. 在Rt△CEF中，CE = $\sqrt{CF^{2}+EF^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}+x^{2}}=\sqrt{5}x$米，
∵CE = 8$\sqrt{5}$米，
∴$\sqrt{5}x = 8\sqrt{5}$.
∴x = 8.
∴EF = 8米，CF = 16米. 答：点E到水平地面的距离为8米.
(2)延长FE交AH于点G，则四边形ABFG为矩形.
∴AG = BF = BC + CF = 24 + 16 = 40(米)，AB = GF，∠AGE = 90°，在Rt△AGE中，∠GAE = 43°，
∴GE = AG·$\tan43^{\circ}\approx40×0.93 = 37.2$(米).
∴AB = GF = EF + GE = 8 + 37.2 = 45.2(米). 答：楼房AB的高约为45.2米.

6.(2023·恩施改编)小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高.如图，AB的长为5 m，高BC为3 m.他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°，点A，B，C，D，E在同一平面内，则信号塔DE的高约为______m.(结果保留整数，参考数据：sin38.7°≈0.63，cos38.7°≈0.78，tan38.7°≈0.80)
　　　

答案： 31