《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

13. 如图，将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与边BC相交于点E. 若AD = 8，DC = 6，则$\frac{AP}{PE}$=__________.

答案： $\frac{4}{3}$

14. 如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG. 若AB = 5，AE = DG = 1，则BF = ________.

答案： $\frac{5}{4}$

15. 如图，E是矩形ABCD的边CB的中点，AF⊥DE于点F，AB = 3，AD = 2.
(1)求证：△AFD∽△DCE.
(2)求线段AF的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC = AB = 3，AD = BC = 2，∠C = ∠CDA = 90°.
∴∠CDE + ∠DEC = 90°，∠ADF + ∠CDE = 90°.
∴∠ADF = ∠DEC.
∵AF⊥DE，
∴∠AFD = ∠C = 90°.
∴△AFD∽△DCE.
(2)
∵E是CB的中点，
∴CE = $\frac{1}{2}BC = 1$.在Rt△DCE中，DE = $\sqrt{DC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$.
∵△AFD∽△DCE，
∴$\frac{AF}{DC}=\frac{AD}{DE}$.
∴AF = $\frac{AD\cdot DC}{DE}=\frac{2×3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$.