《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

11. (2023·合肥包河区期末)如图，等边三角形ACB的边长为3，P为BC上一点，D为AC上一点，连接AP，PD，∠APD = 60°.
(1)求证：△ABP∽△PCD.
(2)若PC = 2，求CD的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵△ACB是等边三角形，且边长为3，
∴∠B = ∠C = 60°，AB = AC = BC = 3.
∵∠APD = 60°，∠APC = ∠APD + ∠DPC = ∠PAB + ∠B，
∴∠DPC = ∠PAB.
∴△ABP∽△PCD.
(2)
∵PC = 2，AB = BC = 3，
∴BP = BC - PC = 3 - 2 = 1.
∵△ABP∽△PCD，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$.
∴CD = $\frac{BP\cdot PC}{AB}=\frac{1×2}{3}=\frac{2}{3}$.

12. (2024·湖北节选)在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H.
(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH.


(2)如图2，当P为CD的中点，AB = 2，AD = 3时，求GH的长.

答案： 解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A = ∠D = ∠C = 90°.
∴∠DEP + ∠DPE = 90°.由折叠的性质，得∠EPH = ∠A = 90°.
∴∠DPE + ∠HPC = 90°.
∴∠DEP = ∠HPC.
∴△DEP∽△CPH.
(2)
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD = AB = 2，AD = BC = 3，∠A = ∠D = ∠C = 90°.
∵P为CD的中点，
∴DP = CP = $\frac{1}{2}×2 = 1$.设EP = AE = x，则ED = AD - AE = 3 - x.在Rt△EDP中，EP² = ED² + DP²，即x² = (3 - x)² + 1²，解得x = $\frac{5}{3}$.
∴EP = $\frac{5}{3}$，ED = $\frac{4}{3}$.
∵△EDP∽△PCH，
∴$\frac{ED}{PC}=\frac{EP}{PH}$，即$\frac{\frac{4}{3}}{1}=\frac{\frac{5}{3}}{PH}$.
∴PH = $\frac{5}{4}$.
∵PG = AB = 2，
∴GH = PG - PH = $\frac{3}{4}$.