《2025年名校课堂九年级数学下册人教版安徽专版》

10. 若等腰三角形的底边与底边上的高的比是2$\sqrt{3}$ : 1，则它的底角的度数为 （ ）
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

答案： B

11. 如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AD⊥BC于点D，BD = $\sqrt{3}$。若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为 （ ）


A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

答案： C

12. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，cosB = $\frac{3}{4}$，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于点E，点D为BC的中点，连接DE，则DE的长为________。

答案： 4 - $\sqrt{7}$

13. （2024·浙江）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是边BC上的中线，AB = 10，AD = 6，tan∠ACB = 1。
（1）求BC的长。
（2）求sin∠DAE的值。

答案： 解:
(1)
∵AD⊥BC,AB = 10,AD = 6，
∴BD = $\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8.
∵tan∠ACB = 1,
∴CD = AD = 6.
∴BC = BD + CD = 8 + 6 = 14.
(2)
∵AE是边BC上的中线，
∴CE = $\frac{1}{2}$BC = 7.
∴DE = CE - CD = 7 - 6 = 1.
∵AD⊥BC，
∴AE = $\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{37}$.
∴sin∠DAE = $\frac{DE}{AE}$ = $\frac{1}{\sqrt{37}}$ = $\frac{\sqrt{37}}{37}$

14. 【类比思想】探究：如图1，在△ABC中，∠A = α（0° ＜ α ＜ 90°），AB = c，AC = b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积。
应用：如图2，在□ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α。若AC = a，BD = b，试用含a，b，α的式子表示□ABCD的面积。

答案： 解:探究:过点B作BD⊥AC于点D.
∵AB = c,∠A = $\alpha$,
∴BD = c·sinα.
∴$S_{\triangle ABC}$ = $\frac{1}{2}$AC·BD = $\frac{1}{2}$bc$\sin\alpha$. 应用:过点C作CE⊥DO于点E.
∴sinα = $\frac{CE}{CO}$.
∴CE = CO·sinα.
∵在$\square ABCD$中，AC = a,BD = b，
∴CO = $\frac{1}{2}$a.
∴$S_{\triangle BCD}$ = $\frac{1}{2}$CE·BD = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a$\sin\alpha$·b = $\frac{1}{4}$ab$\sin\alpha$.
∴$S_{\square ABCD}$ = 2$S_{\triangle BCD}$ = $\frac{1}{2}$ab$\sin\alpha$