《2025年金优教辅培优优选卷七年级数学上册人教版》

23. (10 分)(巩义期末)
(1)材料感知:
小东遇到这样一个问题:如图 1,有两条线段$a,b$,作线段$AB=a$,求作点$C$,使点$C$在线段$AB$的延长线上,且$AC+BC=b$.
小东是这样思考的:首先通过分析明确点$C$在$AB$的延长线上,画出示意图,如图 2 所示,然后截取$AD=b$,这时发现$AC+CD=b$,进而分析要使$AC+BC=b$,则需$BC=CD$.
因此,小东找到了解决问题的方法:延长$AB$到$D$,并使$AD=b$,利用直尺找到$BD$的中点$C$,这样就得到了$AC+BC=b$.
根据小东的画法我们可知,线段$AB=a$,点$D$在线段$AB$的延长线上,且$AD=b$,点$C$为$BD$的中点.
请你根据以上条件说出$AC+BC=b$的理由.
(2)类比迁移:
①类比小东的画法,由线段迁移到角,完成画图:如图 3,$∠A'OB'=\alpha$,请画一个$∠A'OC'$,使$∠A'OC'$与$∠B'OC'$互补,要求:保留画图痕迹,并简单叙述画图步骤;
②如图 4,已知$∠EPG$和$∠FPG$互补,射线$PM$平分$∠EPG$,射线$PN$平分$∠FPG$. 若$∠EPF=\beta$,求$∠MPN$的度数.

答案：
23.解：
(1)因为AD = b，所以AC + CD = b.因为BC = CD，所以AC + BC = AC + CD = b.
(2)①如图，射线OC'即为所作

步骤：延长A'O到D，作∠B'OD的平分线OC'.
②因为∠EPG和∠FPG互补，所以∠EPG + ∠FPG = 180°，∠EPF + ∠FPG + ∠FPG = 180°.又因为∠EPF = β，所以β + 2∠FPG = 180°，所以$∠FPG = \frac{180° - β}{2}，$所以$∠EPG = \frac{180° - β}{2} + β = \frac{180° + β}{2}.$因为射线PM平分∠EPG，所以$∠EPM = \frac{1}{2}×(\frac{180° + β}{2}) = \frac{180° + β}{4}.$
同理$∠FPN = \frac{180° - β}{4}，$所以$∠EPN = ∠EPF + ∠FPN = β + \frac{180° - β}{4} = \frac{180° + 3β}{4}，$所以$∠MPN = ∠EPN - ∠EPM = \frac{180° + 3β}{4} - \frac{180° + β}{4} = \frac{β}{2}.$