《2025年金优教辅培优优选卷七年级数学上册人教版》

21. (10 分)如图, 已知线段 $AB = 20cm$,$CD = 4cm$, 点 $E$ 是 $AC$ 的中点, 点 $F$ 是 $BD$ 的中点.

(1) 若 $AC = 6cm$, 求线段 $EF$ 的长度;
(2) 当线段 $CD$ 在线段 $AB$ 上从左向右或从右向左运动时, 试判断线段 $EF$ 的长度是否发生变化, 如果不变, 请求出线段 $EF$ 的长度; 如果变化, 请说明理由.

答案： 21.解：
(1)因为$AC = 6cm$，$AB = 20cm$，$CD = 4cm$，所以$DB = AB - AC - CD = 10(cm)$. 又因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，所以$AE = EC = \frac{1}{2}AC = 3(cm)$，$DF = FB = \frac{1}{2}DB = 5(cm)$，所以$EF = EC + CD + DF = 3 + 4 + 5 = 12(cm)$，所以线段EF的长度为12cm；
(2)线段EF的长度不发生变化. 因为点E是AC的中点，点F是BD的中点，所以$AE = \frac{1}{2}AC$，$BF = \frac{1}{2}BD$，所以$EF = AB - AE - BF = AB - \frac{1}{2}AC - \frac{1}{2}BD = AB - \frac{1}{2}(AC + BD) = 20 - \frac{1}{2} × (20 - 4) = 12(cm)$. 所以线段EF的长度不变.

22. (10 分)阅读材料:
“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法, 它在多项式的化简与求值中应用极为广泛, 如我们把 $(a + b)$ 看成一个整体, 则 $4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$.
尝试应用:
(1) 把 $(a - b)^{2}$ 看成一个整体, 合并 $3(a - b)^{2} - 6(a - b)^{2} + 7(a - b)^{2}$ 的结果是4(a-b)²;
(2) $x^{2} - 2y = 1$, 求 $3x^{2} - 6y + 2018$ 的值;
拓广探索:
(3) 已知 $a - 2b = 2$,$2b - c = -5$,$c - d = 8$, 求 $(a - c) + (2b - d) - (2b - c)$ 的值.

答案： 22.解：
(1)$4(a - b)^{2}$
(2)$3x^{2} - 6y + 2018 = 3(x^{2} - 2y) + 2018 = 3 × 1 + 2018 = 2021$；
(3)$(a - c) + (2b - d) - (2b - c) = a - c + 2b - d - 2b + c = (a - 2b) + (2b - c) + (c - d) = 2 + ( - 5) + 8 = 5$.