《2025年金优教辅培优优选卷七年级数学上册人教版》

21. (9 分)如图,C,D 是线段 AB 上的两点,且满足$AC:CD:DB=3:2:1$,M,N 分别为 AC 和 CB 的中点.
(1)若$AB=24$,求 DN 的长度;
(2)证明:$5MN=6(CD+DN)$.

答案： 21.
(1)解：因为$AB = 24$，且$AC:CD:DB = 3:2:1$，所以$CD=\frac{2}{6}AB = 8$，$DB=\frac{1}{6}AB = 4$，所以$CB = CD + DB = 12$，因为点$N$为$CB$的中点，所以$CN=\frac{1}{2}CB = 6$，所以$ND = CD - CN = 8 - 6 = 2$.
(2)证明：因为$M$为$AC$的中点$N$为$CB$的中点，所以$MC=\frac{1}{2}AC$，$CN=\frac{1}{2}CB$，所以$MN = MC + CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}AB$，因为$AC:CD:DB = 3:2:1$，所以$CD=\frac{2}{6}AB=\frac{1}{3}AB$，$DB=\frac{1}{6}AB$，所以$CB = CD + DB=\frac{1}{2}AB$，所以$CN=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}AB$，所以$DN = CD - CN=\frac{1}{3}AB-\frac{1}{4}AB=\frac{1}{12}AB$，所以$6(CD + DN)=6×(\frac{1}{3}AB+\frac{1}{12}AB)=\frac{5}{2}AB$，又$5MN = 5×\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}AB$，所以$5MN = 6(CD + DN)$.

22. (10 分)为庆祝“六一”儿童节,某市中小学统一组织文艺汇演,甲、乙两所学校共 92 人(其中甲校的人数多于乙校的人数,且甲校的人数不足 90 人)准备统一购买服装参加演出;下面是某服装厂给出的演出服装的价格表.

(1)如果两所学校分别单独购买服装一共应付 5000 元,甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出?
(2)如果甲校有 10 名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出,请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案.

答案： 22.解：
(1)设甲校$x$人，则乙校$(92 - x)$人，依题意得$50x + 60(92 - x)=5000$，解得$x = 52$，所以$92 - x = 40$，答：甲校有52人参加演出，乙校有40人参加演出.
(2)乙：$92 - 52 = 40$(人)，甲：$52 - 10 = 42$(人)，两校联合：$50×(40 + 42)=4100$(元)，而此时比各自购买节约了：$(42×60 + 40×60)-4100 = 820$(元)，若两校联合购买了91套只需：$40×91 = 3640$(元)，此时又比联合购买每套节约：$4100 - 3640 = 460$(元).因此，最省钱的购买方案是两校联合购买91套服装，即比实际人数多买$91-(40 + 42)=9$(套).