《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

16. 如图,小明家在一条东西走向的公路$MN北侧200米的点A$处,小聪家位于小明家北$500$米($AC = 500$米)、东$1200$米($BC = 1200$米)的点$B$处。
(1) 求小明家离小聪家的距离$AB$。
(2) 现要在公路$MN上的点P$处建一个快递驿站,使$PA + PB$最小,请确定点$P$的位置,并求$PA + PB$的最小值。

答案： 1. （1）
解：在$Rt\triangle ABC$中，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$。
已知$AC = 500$米，$BC = 1200$米，将其代入公式可得：
$AB=\sqrt{500^{2}+1200^{2}}=\sqrt{250000 + 1440000}=\sqrt{1690000}=1300$（米）。
2. （2）
解：作点$A$关于直线$MN$的对称点$A'$，连接$A'B$交$MN$于点$P$，则点$P$即为所求。
因为$A$与$A'$关于$MN$对称，所以$PA = PA'$，则$PA+PB=PA'+PB = A'B$。
过点$A'$作$A'D\perp BC$交$BC$的延长线于点$D$。
由题意可知$A'D=200 + 200+500=900$米，$BD = 1200$米。
在$Rt\triangle A'BD$中，根据勾股定理$A'B=\sqrt{A'D^{2}+BD^{2}}$。
把$A'D = 900$米，$BD = 1200$米代入可得：
$A'B=\sqrt{900^{2}+1200^{2}}=\sqrt{810000+1440000}=\sqrt{2250000}=1500$（米）。
综上，（1）小明家离小聪家的距离$AB$为$1300$米；（2）点$P$的位置为作点$A$关于直线$MN$的对称点$A'$，连接$A'B$与$MN$的交点，$PA + PB$的最小值为$1500$米。

17. 如图①,$P是等腰三角形ABC底边BC$上的一个动点,过点$P作BC$的垂线,交直线$AB于点Q$,交直线$CA的延长线于点R$。
(1) 请观察$AR与AQ$,猜想它们有何关系,并证明你的猜想。
(2) 如果点$P沿着底边BC$所在的直线,按由点$C向点B的方向运动到CB$的延长线上时,第(1)题所得的结论还成立吗？请你在图②中画出图形,并给予证明。

答案： 1. （1）
猜想：$AR = AQ$。
证明：
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$\angle B=\angle C$。
因为$RP\perp BC$，所以$\angle B+\angle BQP = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle R = 90^{\circ}$。
又因为$\angle BQP=\angle AQR$（对顶角相等），由$\angle B=\angle C$可得$\angle R=\angle AQR$。
根据等角对等边，在$\triangle AQR$中，$\angle R=\angle AQR$，所以$AR = AQ$。
2. （2）
结论仍然成立。
证明：
画出图形（略）。
因为$\triangle ABC$是等腰三角形，所以$\angle ABC=\angle C$。
因为$\angle ABC=\angle PBQ$（对顶角相等），所以$\angle PBQ=\angle C$。
因为$RP\perp BC$，所以$\angle PBQ+\angle BQP = 90^{\circ}$，$\angle C+\angle R = 90^{\circ}$。
所以$\angle BQP=\angle R$。
又因为$\angle BQP=\angle AQR$（对顶角相等），所以$\angle R=\angle AQR$。
根据等角对等边，在$\triangle AQR$中，$\angle R=\angle AQR$，所以$AR = AQ$。
综上，（1）中$AR = AQ$；（2）中结论成立。