《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

1. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$O是斜边AB$的中点,点$D$,$E分别在直角边AC$,$BC$上,且$\angle DOE = 90^{\circ}$,$DE交OC于点P$。给出下列结论:①图中全等的三角形只有$2$对,②$\triangle ODE$是等腰直角三角形,③$\triangle ABC的面积等于四边形CDOE面积的2$倍,④$CD + CE= \sqrt{2}OA$。其中正确的结论有②③④。(填序号)

答案： ②③④

2. 如图,$AD// BC$,$AC平分\angle BAD$,$BD平分\angle ABC$,$AC和BD相交于点E$。
(1)求证:$AC\perp BD$。
(2)取$BC的中点F$,连结$FE$并延长,交$AD于点G$。求证:$G是AD$的中点。

答案： 2. 提示:
(1)证两锐角互余或由等腰三角形三线合一证得　
(2)证AG=EG=DG或证AG=CF=BF=DG

3. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC = 2\angle ACB$,$AC = 2AB$。求证:$\triangle ABC$是直角三角形。

答案： 3. 提示:作∠BAC的平分线AD,作DE⊥AC于点E,证△ABD≌△AED

4. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = BC = AC = 12\mathrm{cm}$,点$M$,$N分别从点A和点B$同时出发,沿三角形的边运动,已知点$M的运动速度为1\mathrm{cm/s}$,点$N的运动速度为2\mathrm{cm/s}$。当点$N第一次到达点B$时,点$M$,$N$同时停止运动。
(1)点$M$,$N$运动多少秒后,$\triangle AMN$为等腰三角形?
(2)点$M$,$N$运动多少秒后,$\triangle AMN$为直角三角形?

答案： 1. （1）
设点$M$，$N$运动$t$秒后，$\triangle AMN$为等腰三角形。
已知$AB = BC = AC = 12\mathrm{cm}$，$\angle A=60^{\circ}$，$AM = t\mathrm{cm}$，$BN = 2t\mathrm{cm}$，则$AN=(12 - 2t)\mathrm{cm}$。
因为$\angle A = 60^{\circ}$，当$\triangle AMN$为等腰三角形时，$\triangle AMN$是等边三角形（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），所以$AM = AN$。
即$t=12 - 2t$。
移项可得：$t + 2t=12$，$3t = 12$，解得$t = 4$。
2. （2）
分两种情况讨论：
①当$\angle ANM = 90^{\circ}$时：
因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle AMN = 30^{\circ}$（直角三角形两锐角互余），根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$AN=\frac{1}{2}AM$。
已知$AM = t\mathrm{cm}$，$AN=(12 - 2t)\mathrm{cm}$，则$12 - 2t=\frac{1}{2}t$。
移项：$-2t-\frac{1}{2}t=-12$，通分得到$-\frac{4t + t}{2}=-12$，即$-\frac{5t}{2}=-12$，解得$t=\frac{24}{5}=4.8$。
②当$\angle AMN = 90^{\circ}$时：
因为$\angle A = 60^{\circ}$，所以$\angle ANM = 30^{\circ}$，则$AM=\frac{1}{2}AN$。
即$t=\frac{1}{2}(12 - 2t)$。
去括号：$t = 6 - t$。
移项：$t + t=6$，$2t = 6$，解得$t = 3$。
综上，（1）点$M$，$N$运动$4$秒后，$\triangle AMN$为等腰三角形；（2）点$M$，$N$运动$3$秒或$4.8$秒后，$\triangle AMN$为直角三角形。