《2025年预学与导学八年级数学上册浙教版》

18. 【问题模型】如图①,$OP是\angle MON$的平分线,点$A在OP$上,点$B在OM$上,请你画一个以直线$OP$为对称轴,与$\triangle OAB全等的\triangle OAC$,并将添加的全等条件标注在图上。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：

【基本问题】
(1)如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 60^{\circ}$,$BD$,$CE分别是\angle ABC和\angle ACB$的平分线,$BD$,$CE相交于点O$,求$\angle BOC$的度数。
【模型应用】
(2)在第(1)题的条件下,请判断$EO与DO$之间的数量关系,并说明理由。
【问题迁移】
(3)在第(1)题的条件下,请探究$BE$,$CD$,$BC$之间的数量关系,并证明。
【问题拓展】
(4)在第(1)题的条件下,设四边形$ADOE的面积为a$,$\triangle BOC的面积为b$,求$\triangle ABC$的面积。(用含$a$,$b$的代数式表示)

答案： 1. （1）
解：在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle ABC+\angle ACB=180^{\circ}-\angle A$，所以$\angle ABC + \angle ACB=180 - 60=120^{\circ}$。
因为$BD$，$CE$分别是$\angle ABC$和$\angle ACB$的平分线，所以$\angle 2=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle 4=\frac{1}{2}\angle ACB$。
则$\angle 2+\angle 4=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$，把$\angle ABC+\angle ACB = 120^{\circ}$代入可得$\angle 2+\angle 4=\frac{1}{2}×120^{\circ}=60^{\circ}$。
在$\triangle BOC$中，根据三角形内角和定理$\angle BOC=180^{\circ}-(\angle 2 + \angle 4)$，所以$\angle BOC=180 - 60=120^{\circ}$。
2. （2）
解：$EO = DO$。
理由：在$BC$上取一点$F$，使$BF=BE$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，所以$\angle 1=\angle 2$。
在$\triangle BEO$和$\triangle BFO$中，$\begin{cases}BE = BF\\\angle 1=\angle 2\\BO = BO\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle BEO\cong\triangle BFO$。
所以$\angle BOE=\angle BOF$。
因为$\angle BOC = 120^{\circ}$，所以$\angle BOE=\angle COD = 60^{\circ}$，$\angle BOF = 60^{\circ}$，则$\angle FOC=\angle BOC-\angle BOF=120 - 60=60^{\circ}$，$\angle DOC = 60^{\circ}$。
又因为$CE$平分$\angle ACB$，所以$\angle 3=\angle 4$。
在$\triangle FOC$和$\triangle DOC$中，$\begin{cases}\angle FOC=\angle DOC\\OC = OC\\\angle 3=\angle 4\end{cases}$，根据$ASA$（角边角）定理可得$\triangle FOC\cong\triangle DOC$。
所以$FO = DO$，又因为$\triangle BEO\cong\triangle BFO$，所以$EO = FO$，故$EO = DO$。
3. （3）
解：$BC=BE + CD$。
证明：由（2）中$\triangle BEO\cong\triangle BFO$，$\triangle FOC\cong\triangle DOC$。
因为$\triangle BEO\cong\triangle BFO$，所以$BE = BF$；因为$\triangle FOC\cong\triangle DOC$，所以$CD = CF$。
而$BC=BF + CF$，所以$BC=BE + CD$。
4. （4）
解：由（2）知$\triangle BEO\cong\triangle BFO$，$\triangle FOC\cong\triangle DOC$。
所以$S_{\triangle BEO}=S_{\triangle BFO}$，$S_{\triangle FOC}=S_{\triangle DOC}$，$S_{\triangle AEO}=S_{\triangle ADO}$。
则$S_{\triangle ABC}=S_{ADOE}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle BEO}+S_{\triangle CDO}$。
因为$S_{\triangle BEO}+S_{\triangle CDO}=S_{\triangle BFO}+S_{\triangle FOC}$，且$S_{ADOE}=a$，$S_{\triangle BOC}=b$。
所以$S_{\triangle ABC}=2a + b$。
综上，（1）$\angle BOC = 120^{\circ}$；（2）$EO = DO$；（3）$BC=BE + CD$；（4）$S_{\triangle ABC}=2a + b$。