《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

8. (临沂中考)如图,P是面积为S的$□ ABCD$内任意一点,$\triangle PAD$的面积为$S_{1},\triangle PBC$的面积为$S_{2}$,则（C）

A.$S_{1}+S_{2}＞\frac {S}{2}$
B.$S_{1}+S_{2}＜\frac {S}{2}$
C.$S_{1}+S_{2}=\frac {S}{2}$
D.$S_{1}+S_{2}$的大小与P点位置有关

答案： C

9. 如图,在$□ ABCD$中,E,F是对角线BD上的两点,要使四边形AFCE是平行四边形,则需添加的一个条件可以是____BF = DE(只添加一个条件).

答案： $BF = DE$（答案不唯一）

10. (连云港中考)如图,在$□ ABCD$中,$AE⊥BC$于点E,$AF⊥CD$于点F.若$∠EAF=56^{\circ }$,则$∠B=$$56^{\circ}$.

答案： $56^{\circ}$

11. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=2,AD=3$,将$\triangle ACD$沿对角线AC折叠,点D落在$\triangle ABC$所在平面内的点E处,且AE过BC的中点O,则$\triangle ADE$的周长等于10.

答案： 10

12. (岳阳中考)如图,在平行四边形ABCD中,$AE=$$CF$,求证:四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，∴$AB // CD$，且 $AB = CD$。又∵ $AE = CF$，∴$BE = DF$。∵$BE // DF$ 且 $BE = DF$，∴四边形 $BFDE$ 是平行四边形。

答案： 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，且 $AB = CD$。又
∵ $AE = CF$，
∴ $BE = DF$。
∵ $BE // DF$ 且 $BE = DF$，
∴四边形 $BFDE$ 是平行四边形。

13. (重庆中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE,CF分别平分$∠BAD$和$∠DCB$,交对角线BD于点E,F.
(1)若$∠BCF=60^{\circ }$,求$∠ABC$的度数;60°
(2)求证:$BE=DF$.证明：在平行四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD，AE平分∠BAD，CF平分∠DCB，∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，∴∠BAE=∠DCF。又∵∠ABE=∠CDF，AB=CD，∴△BAE≌△DCF(ASA)。∴BE=DF。

答案：
(1) 解：
∵ $CF$ 平分 $ \angle DCB$，$ \angle BCF = 60^{\circ}$，
∴ $ \angle BCD = 2 \angle BCF = 120^{\circ}$。
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB // CD$，
∴ $ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCD = 60^{\circ}$。
(2) 证明：在平行四边形 $ABCD$ 中，
∵ $ \angle BAD = \angle BCD$，$AE$ 平分 $ \angle BAD$，$CF$ 平分 $ \angle DCB$，
∴ $ \angle BAE = \frac{1}{2} \angle BAD$，$ \angle DCF = \frac{1}{2} \angle BCD$，
∴ $ \angle BAE = \angle DCF$。又
∵ $ \angle ABE = \angle CDF$，$AB = CD$，
∴ $ \triangle BAE \cong \triangle DCF (ASA)$。
∴ $BE = DF$。

14. (广元中考)已知$□ ABCD$,O为对角线AC的中点,过O的一条直线交AD于点E,交BC于点F.
(1)求证:$\triangle AOE\cong \triangle COF;$
(2)若$AE:ED=1:2,\triangle AOE$的面积为2,求$□ ABCD$的面积.

答案：

(1) 证明：
∵四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AD // BC$，
∴ $ \angle EAO = \angle FCO$。
∵ $O$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $OA = OC$。在 $ \triangle AOE$ 和 $ \triangle COF$ 中，
∵ $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle EAO = \angle FCO, } \\ { OA = OC, } \\ { \angle AOE = \angle COF, } \end{array} \right.$
∴ $ \triangle AOE \cong \triangle COF (ASA)$。

(2) 解：如图，连接 $BD$，过点 $O$ 作 $OM \perp AD$ 于点 $M$。
∵ $O$ 为对角线 $AC$ 的中点，
∴ $O$ 为 $AC$，$BD$ 的交点。
∵ $ S _ { \triangle A O E } = \frac { 1 } { 2 } A E \cdot O M$，$ S _ { \triangle O E D } = \frac { 1 } { 2 } D E \cdot O M$，
∴ $ S _ { \triangle A O E } : S _ { \triangle O E D } = \left( \frac { 1 } { 2 } A E \cdot O M \right) : \left( \frac { 1 } { 2 } D E \cdot O M \right) = A E : D E = 1 : 2$。
∵ $ S _ { \triangle A O E } = 2$，
∴ $ S _ { \triangle O E D } = 4$。
∴ $ S _ { \triangle A O D } = S _ { \triangle A O E } + S _ { \triangle O E D } = 6$。
∴ $ S _ { \square A B C D } = 4 S _ { \triangle A O D } = 4 \times 6 = 24$。