《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

19. (8 分) 计算:
(1) $\sqrt{24} \div \sqrt{2}-\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{6}+\sqrt{48}$;
(2) $4 \sqrt{5}+\sqrt{45}-\sqrt{8}+4 \sqrt{2}$;
(3) $(5 \sqrt{48}-6 \sqrt{27}+4 \sqrt{15}) \div \sqrt{3}$;
(4) $(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})-|1-\sqrt{2}|$.

答案： 解:
(1) 原式 $ = 2 \sqrt { 3 } - \sqrt { 3 } + 4 \sqrt { 3 } = 5 \sqrt { 3 } $。
(2) 原式 $ = 4 \sqrt { 5 } + 3 \sqrt { 5 } - 2 \sqrt { 2 } + 4 \sqrt { 2 } = 7 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 } $。
(3) 原式 $ = ( 5 \times 4 \sqrt { 3 } - 6 \times 3 \sqrt { 3 } + 4 \sqrt { 15 } ) \div \sqrt { 3 } = ( 2 \sqrt { 3 } + 4 \sqrt { 15 } ) \div \sqrt { 3 } = 2 + 4 \sqrt { 5 } $。
(4) 原式 $ = 3 - 2 + 1 - \sqrt { 2 } = 2 - \sqrt { 2 } $。

20. (4 分) 解下列方程或方程组:
(1) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} x+1=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{5}} x$; $ x = \sqrt { 15 } $
(2) $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{5} x-\sqrt{3} y=1, \\ \sqrt{3} x-\sqrt{5} y=0 .\end{array}\right.$ $ \left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 }, } \\ { y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \end{array} \right. $

答案：
(1) $ x = \sqrt { 15 } $
(2) $ \left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { \sqrt { 5 } } { 2 }, } \\ { y = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \end{array} \right. $

21. (9 分) 已知 $a=3+\sqrt{7}, b=3-\sqrt{7}$, 求下列各式的值:
(1) $a^{2} b+a b^{2}$=12;
(2) $a^{2}-b^{2}$=$12\sqrt{7}$;
(3) $a^{2}-a b+b^{2}$=30.

答案： 解: $ \because a = 3 + \sqrt { 7 } , b = 3 - \sqrt { 7 } , \therefore a + b = 6 , a - b = 2 \sqrt { 7 } , a b = 3 ^ { 2 } - ( \sqrt { 7 } ) ^ { 2 } = 2 $。
(1) $ a ^ { 2 } b + a b ^ { 2 } = a b ( a + b ) = 2 \times 6 = 12 $。
(2) $ a ^ { 2 } - b ^ { 2 } = ( a + b ) ( a - b ) = 6 \times 2 \sqrt { 7 } = 12 \sqrt { 7 } $。
(3) $ a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 3 a b = 6 ^ { 2 } - 3 \times 2 = 30 $。

22. (7 分) 观察下列各式及其验证过程:
$2 \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$, 验证: $2 \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2^{3}}{3}}=\sqrt{2+\frac{2}{3}}$;
$3 \sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$, 验证: $3 \sqrt{\frac{3}{8}}=\sqrt{\frac{3^{3}}{8}}=\sqrt{3+\frac{3}{8}}$.
(1) 按照上述两个等式及验证过程, 猜想 $4 \sqrt{\frac{4}{15}}$ 的变形结果并加以验证;
猜想结果：$4 \sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$，验证: $4 \sqrt{\frac{4}{15}}=\sqrt{\frac{4^{3}}{15}}=\sqrt{4+\frac{4}{15}}$;
(2) 根据上述的规律, 写出用 $n$ ( $n$ 为正整数, 且 $n \geqslant 2$ )表示的等式,并加以验证.
等式：$n \sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$，验证: $n \sqrt{\frac{n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n^{3}-n+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{\frac{n(n^{2}-1)+n}{n^{2}-1}}=\sqrt{n+\frac{n}{n^{2}-1}}$.

答案： 解:
(1) $ 4 \sqrt { \frac { 4 } { 15 } } = \sqrt { 4 + \frac { 4 } { 15 } } $，验证: $ 4 \sqrt { \frac { 4 } { 15 } } = \sqrt { \frac { 4 ^ { 3 } } { 15 } } = \sqrt { 4 + \frac { 4 } { 15 } } $。
(2) $ n \sqrt { \frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { n + \frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } } $，验证: $ n \sqrt { \frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { n ^ { 3 } } { n ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { n ^ { 3 } - n + n } { n ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { \frac { n ( n ^ { 2 } - 1 ) + n } { n ^ { 2 } - 1 } } = \sqrt { n + \frac { n } { n ^ { 2 } - 1 } } $。