《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

9. (广州中考)关于x的一元二次方程$x^{2}-(k-1)x-k+2=0$有两个实数根$x_{1},x_{2}$，若$(x_{1}-x_{2}+2)(x_{1}-x_{2}-2)+2x_{1}x_{2}=-3$，则k的值为 (D)
A. 0或2
B. -2或2
C. -2
D. 2

答案： D

10. (荆州中考)定义新运算“$a*b$”：对于任意实数a，b，都有$a*b=(a+b)(a-b)-1$，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如$4*3=(4+3)(4-3)-1=7-1=6$.若$x*k=x$(k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况为 (C)
A. 有一个实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根

答案： C

11. (云南中考)若关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+c=0$有两个相等的实数根，则实数c的值为1.

答案： 1

12. (丹东中考)关于x的方程$(m+1)x^{2}+3x-1=0$有两个实数根，则m的取值范围是$ m \geqslant -\frac{13}{4} $且$ m \neq -1 $.

答案： $ m \geqslant -\frac{13}{4} $且$ m \neq -1 $

13. (泰州中考)方程$x^{2}+2x-3=0$的两根为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}\cdot x_{2}$的值为-3.

答案： -3

14. (泸州中考)已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-4x-7=0$的两个实数根，则$x_{1}^{2}+4x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$的值是2.

答案： 2

15. (北京中考)关于x的一元二次方程$ax^{2}+bx+1=0$.
(1)当$b=a+2$时，利用根的判别式判断方程根的情况；方程有两个不相等的实数根
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根.$a=1$，$b=2$，方程的根为$x_{1}=x_{2}=-1$

答案： 解：
(1)把$ b = a + 2 $代入方程$ ax^{2} + bx + 1 = 0 $，得$ ax^{2} + (a + 2)x + 1 = 0 $，$ \therefore \Delta = (a + 2)^{2} - 4a = a^{2} + 4 $。$ \because a^{2} \geqslant 0 $，$ \therefore a^{2} + 4 ＞ 0 $，$ \therefore $方程有两个不相等的实数根。
(2)若方程有两个相等的实数根，则$ b^{2} - 4a = 0 $。可令$ b = 2 $，$ a = 1 $，此时方程为$ x^{2} + 2x + 1 = 0 $，$ \therefore (x + 1)^{2} = 0 $，$ \therefore x_{1} = x_{2} = -1 $。

16. (孝感中考)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2(a-1)x+a^{2}-a-2=0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$.
(1)若a为正整数，求a的值；1或2
(2)若$x_{1},x_{2}$满足$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=16$，求a的值.-1

答案： 解：
(1)$ \because $关于$ x $的一元二次方程$ x^{2} - 2(a - 1)x + a^{2} - a - 2 = 0 $有两个不相等的实数根，$ \therefore \Delta = [-2(a - 1)]^{2} - 4(a^{2} - a - 2) ＞ 0 $，解得$ a ＜ 3 $。$ \because a $为正整数，$ \therefore a = 1 $或 2。
(2)由题可得，$ x_{1} + x_{2} = 2(a - 1) $，$ x_{1}x_{2} = a^{2} - a - 2 $。$ \because x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1}x_{2} = 16 $，$ \therefore (x_{1} + x_{2})^{2} - 3x_{1}x_{2} = 16 $，$ \therefore [2(a - 1)]^{2} - 3(a^{2} - a - 2) = 16 $，解得$ a_{1} = -1 $，$ a_{2} = 6 $。$ \because a ＜ 3 $，$ \therefore a = -1 $。

17. (南充中考)已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-2x+k+2=0$的两个实数根.
(1)求k的取值范围；
解：$ \because $一元二次方程$ x^{2} - 2x + k + 2 = 0 $有两个实数根，$ \therefore b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(k + 2) \geqslant 0 $，解得$ k \leqslant -1 $。
(2)是否存在实数k，使得等式$\frac {1}{x_{1}}+\frac {1}{x_{2}}=k-2$成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
解：存在。由一元二次方程根与系数关系得，$ x_{1} + x_{2} = 2 $，$ x_{1}x_{2} = k + 2 $。$ \because \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = k - 2 $，$ \therefore \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2}{k + 2} = k - 2 $，即$ (k + 2)(k - 2) = 2 $，解得$ k = \pm \sqrt{6} $。由(1)知$ k \leqslant -1 $，$ \therefore k = $$ -\sqrt{6} $。

答案： 解：
(1)$ \because $一元二次方程$ x^{2} - 2x + k + 2 = 0 $有两个实数根，$ \therefore b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4(k + 2) \geqslant 0 $，解得$ k \leqslant -1 $。
(2)存在。由一元二次方程根与系数关系得，$ x_{1} + x_{2} = 2 $，$ x_{1}x_{2} = k + 2 $。$ \because \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = k - 2 $，$ \therefore \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = \frac{2}{k + 2} = k - 2 $，即$ (k + 2)(k - 2) = 2 $，解得$ k = \pm \sqrt{6} $。由
(1)知$ k \leqslant -1 $，$ \therefore k = -\sqrt{6} $。