《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

13. 若一个多边形的内角和是外角和的两倍,则该多边形的边数是6.

答案： 6

14. 如图,在$□ ABCD$中,过点C作$CE⊥AB$,垂足为E,若$∠EAD=40^{\circ }$,则$∠BCE$的度数为$50^{\circ}$.

答案： $50^{\circ}$

15. 如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,$△BEO$的周长是8,则$△BCD$的周长为16.

答案： 16

16. 如图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐标为$(2,3)$,则点F的坐标为____$(-1,5)$.

答案： $(-1,5)$

17. 如图,在菱形ABCD中,$AB=6,∠B=60^{\circ }$,点E在边AD上,且$AE=2$.若直线l经过点E,将该菱形的面积平分,并与菱形的另一边交于点F,则线段EF的长为____$2\sqrt{17}$.

答案： $2\sqrt{17}$

18. (10分)如图,$AC=8$,分别以点A,C为圆心、5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由;
四边形ABCD为菱形.理由:由题意得,AB=BC=CD=AD=5,故四边形ABCD为菱形.
(2)求BD的长.
BD的长为6.

答案： 解:
(1)四边形ABCD为菱形.理由:由题意得,AB=BC=CD=AD=5,故四边形ABCD为菱形.
(2)在菱形ABCD中,
∵AC=8,
∴OA=OC=4.在Rt△AOB中,OB=$\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$=3,
∴BD=2OB=6.

19. (10分)如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使$EG=AE$,连接CG,CF.
(1)求证:$△ABE\cong △CDF;$
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AB=CD,OB=OD,∴∠ABE=∠CDF.∵点E,F分别为OB,OD的中点,∴BE=DF.∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.
解:当AC与AB满足AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.
理由:∵△ABE≌△CDF,AB//CD,∴AE=CF,∠BAE=∠DCF,∠BAC=∠DCA,∴∠BAC - ∠BAE = ∠DCA - ∠DCF,即∠GAC = ∠FCA,∴GE//CF.∵AE=EG,∴CF=EG,∴四边形EGCF是平行四边形.当AC=2AB时,AB=OA.又∵AE=AE,BE=OE,∴△ABE≌△AOE.∴∠AEB=∠AEO=90°,∴∠GEF=90°,∴四边形EGCF是矩形.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,OB=OD,
∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
∴BE=DF.
∴△ABE≌△CDF.
(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形.
理由:
∵△ABE≌△CDF,AB//CD,
∴AE=CF,∠BAE=∠DCF,∠BAC=∠DCA,
∴∠BAC - ∠BAE = ∠DCA - ∠DCF,即∠GAC = ∠FCA,
∴GE//CF.
∵AE=EG,
∴CF=EG,
∴四边形EGCF是平行四边形.当AC=2AB时,AB=OA.又
∵AE=AE,BE=OE,
∴△ABE≌△AOE.
∴∠AEB=∠AEO=90°,
∴∠GEF=90°,
∴四边形EGCF是矩形.

20. (12分)如图,矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:$BG=DE;$
(2)若E为AD的中点,$FH=2$,求菱形ABCD的周长.

答案：

(1)证明:在矩形EFGH中,EH=FG,EH//FG,
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180° - ∠GFH,∠DHE=180° - ∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.在菱形ABCD中,AD//BC,
∴∠GBF=∠EDH,
∴△BGF≌△DEH.
∴BG=DE.
(2)解:如图，连接EG.在菱形ABCD中,AD//BC,AD=BC.
∵E为AD的中点,
∴AE=ED.
∵BG =DE,
∴AE=BG,
∴四边形ABGE是平行四边形.

在矩形EFGH中,EG = FH = 2,
∴AB = 2.
∴菱形ABCD的周长为8.