《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

16. 某水果批发市场经销一种高档水果,如果每千克盈利10元,每天可售出500kg.经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20kg,现该市场要保证每天盈利6000元,设每千克应涨价x元,则可列方程为$ (10+x)(500-20x)=6000 $.

答案： $ (10+x)(500-20x)=6000 $

17. 已知关于x的一元二次方程:$x^{2}-2x-a=0$,有下列结论:①当$a＞-1$时,方程有两个不相等的实根;②当$a＞0$时,方程不可能有两个异号的实根;③当$a＞-1$时,方程的两个实根不可能都小于1;④当$a＞3$时,方程的两个实根一个大于3,另一个小于3.以上四个结论中,正确的个数为3.

答案： 3

18. (6分)解下列方程:
(1)$4x^{2}-6x-4=0;$$ x_{1}=2,x_{2}=-\frac{1}{2} $
(2)$(x+2)(x+3)=1;$$ x_{1}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{5}}{2} $
(3)$(x-2)(x-3)=6.$$ x_{1}=0,x_{2}=5 $

答案：
(1) $ x_{1}=2,x_{2}=-\frac{1}{2} $
(2) $ x_{1}=\frac{-5+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{-5-\sqrt{5}}{2} $
(3) $ x_{1}=0,x_{2}=5 $

19. (8分)已知关于x的一元二次方程$mx^{2}-4x-5=0.$
(1)求证:当$m＞0$时,方程一定有两个不相等的实数根;
(2)已知$x=n$是它的一个实数根,若$mn^{2}-4n+m=3+m^{2}$,求m的值.2或-1

答案：
(1) 证明: $ \Delta=(-4)^{2}-4m\cdot(-5)=16+20m $ $ \because m＞0 $ $ \therefore 16+20m＞0 $ $ \therefore $ 当 $ m＞0 $ 时, 方程一定有两个不相等的实数根.
(2) 解: $ \because x=n $ 是它的一个实数根 $ \therefore mn^{2}-4n-5=0 $ $ \therefore mn^{2}-4n=5 $ 又 $ \because mn^{2}-4n+m=3+m^{2} $ $ \therefore 5+m=3+m^{2} $ 解得 $ m=2 $ 或 $-1$

20. (8分)已知关于x的方程$kx^{2}-3x+1=0$有实数根.
(1)求k的取值范围;$ k≤\frac{9}{4} $
(2)若该方程有两个实数根,分别为$x_{1}$和$x_{2}$,当$x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4$时,求k的值.1

答案： 解:
(1) 当 $ k=0 $ 时, 原方程为 $ -3x+1=0 $ 解得 $ x=\frac{1}{3} $ $ \therefore k=0 $ 符合题意; 当 $ k≠0 $ 时, 原方程为一元二次方程 $ \because $ 该一元二次方程有实数根 $ \therefore \Delta=(-3)^{2}-4×k×1≥0 $ 解得 $ k≤\frac{9}{4} $ 综上所述, $ k $ 的取值范围为 $ k≤\frac{9}{4} $
(2) $ \because x_{1} $ 和 $ x_{2} $ 是方程 $ kx^{2}-3x+1=0 $ 的两个根 $ \therefore x_{1}+x_{2}=\frac{3}{k},x_{1}x_{2}=\frac{1}{k} $ $ \because x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=4 $ $ \therefore \frac{3}{k}+\frac{1}{k}=4 $ 解得 $ k=1 $ 经检验, $ k=1 $ 是分式方程的解, 且符合题意 $ \therefore k $ 的值为 1

21. (10分)某村2021年的人均收人为20000元,2023年的人均收人为24200元.
(1)求2021年到2023年该村人均收人的年平均增长率;
(2)假设2024年该村人均收人的增长率与前两年的年平均增长率相同,请你预测2024年该村的人均收人是多少元?

答案： 解:
(1) 设 2021 年到 2023 年该村人均收入的年平均增长率为 $ x $ 根据题意, 得 $ 20000(1+x)^{2}=24200 $ 解得 $ x_{1}=0.1=10\%,x_{2}=-2.1 $ (不合题意, 舍去). 答: 2021 年到 2023 年该村人均收入的年平均增长率为 $ 10\% $
(2) $ 24200×(1+10\%)=26620 $ (元)