《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

9. 如图，已知$EA=CE$，$\angle B=\angle D=\angle AEC=90^{\circ}$，$AB=3\mathrm{cm}$，$CD=2\mathrm{cm}$，则$\triangle CDE$和$\triangle EBA$的面积之和是6cm²。

答案： 9. 6cm²

10. （江西中考）如图，$AC$平分$\angle DCB$，$CB=CD$，$DA$的延长线交$BC$于点$E$，若$\angle EAC=49^{\circ}$，则$\angle BAE$的度数为____82°。

答案： 10. 82°

11. 如图，四边形$ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$\triangle ABO\cong\triangle ADO$。下列结论：①$AC\perp BD$；②$CB=CD$；③$\triangle ABC\cong\triangle ADC$；④$DA=DC$。其中所有正确结论的序号是①②③。

答案： 11. ①②③

12. （菏泽中考）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，点$E$在$AC$的延长线上，$ED\perp AB$于点$D$，若$BC=ED$，求证：$CE=DB$。
证明：∵ED⊥AB，∴∠ADE = ∠ACB = 90°。又∵∠A = ∠A，BC = DE，∴△ABC≌△AED(AAS)。∴AE = AB，AC = AD。∴CE = DB。

答案： 12. 证明：
∵ED⊥AB，
∴∠ADE = ∠ACB = 90°。又
∵∠A = ∠A，BC = DE，
∴△ABC≌△AED(AAS)。
∴AE = AB，AC = AD。
∴CE = DB。

13. （云南中考）如图，已知$AD=BC$，$BD=AC$。求证：$\angle ADB=\angle BCA$。
证明：在△ADB和△BCA中，∵$\begin{cases}AD = BC\\BD = AC\\AB = BA\end{cases}$，∴△ADB≌△BCA(SSS)。∴∠ADB = ∠BCA。

答案： 13. 证明：在△ADB和△BCA中，
∵$\begin{cases}AD = BC\\BD = AC\\AB = BA\end{cases}$，
∴△ADB≌△BCA(SSS)。
∴∠ADB = ∠BCA。

14. （黄石中考）如图，$AB=AE$，$AB// DE$，$\angle DAB=70^{\circ}$，$\angle E=40^{\circ}$。
（1）求$\angle DAE$的度数；30°
（2）若$\angle B=30^{\circ}$，求证：$AD=BC$。
证明：在△ADE和△BCA中，∵$\begin{cases}∠B = ∠DAE\\AB = EA\\∠BAC = ∠E\end{cases}$，∴△ADE≌△BCA(ASA)。∴AD = BC。

答案： 14.
(1) 解：
∵AB//DE，∠E = 40°，
∴∠EAB = 40°。
∵∠DAB = 70°，
∴∠DAE = 30°。
(2) 证明：在△ADE和△BCA中，
∵$\begin{cases}∠B = ∠DAE\\AB = EA\\∠BAC = ∠E\end{cases}$，
∴△ADE≌△BCA(ASA)。
∴AD = BC。

15. （烟台中考）如图，在等边三角形$ABC$中，点$E$是边$AC$上一定点，点$D$是直线$BC$上一动点，以$DE$为一边作等边三角形$DEF$，连接$CF$。
【问题解决】
如图1，若点$D$在边$BC$上，求证：$CE+CF=CD$；
【类比探究】
如图2，若点$D$在边$BC$的延长线上，请探究线段$CE$，$CF$与$CD$之间存在怎样的数量关系？并说明理由。

答案：
15. [问题解决]证明：在CD上截取CH = CE，如图1所示。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH = 60°，
∴△CEH是等边三角形，
∴EH = EC = CH，∠CEH = 60°。
∵△DEF是等边三角形，
∴DE = FE，∠DEF = 60°，
∴∠DEH + ∠HEF = ∠FEC + ∠HEF = 60°，即∠DEH = ∠FEC。
在△DEH和△FEC中，
∵$\begin{cases}DE = FE\\∠DEH = ∠FEC\\EH = EC\end{cases}$，
∴△DEH≌△FEC(SAS)。
∴DH = CF。
∴CD = CH + DH = CE + CF，即CE + CF = CD。

[类比探究]解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是CF = CD + CE。理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A = ∠B = 60°。过D作DG//AB，交AC的延长线于点G，如图2所示。
∵DG//AB，
∴∠GDC = ∠B = 60°，∠DGC = ∠A = 60°，
∴△GCD为等边三角形，
∴DG = CD = CG。
∵△EDF为等边三角形，
∴ED = DF，∠EDF = ∠GDC = 60°，
∴∠EDG = ∠FDC。
在△EGD和△FCD中，
∵$\begin{cases}ED = FD\\∠EDG = ∠FDC\\DG = DC\end{cases}$，
∴△EGD≌△FCD(SAS)。
∴EG = FC，
∴CF = EG = CG + CE = CD + CE。