《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

11. 已知等边$△ABC$的边长为12,D是AB上的动点,过点D作$DE⊥AC$于点E,过点E作$EF⊥BC$于点F,过点F作$FG⊥AB$于点G.当G与D重合时,AD的长是（C）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 9

答案： 11. C

12. 如图,在$△ABC$中,DE是AC的垂直平分线.若$AE=3,△ABD$的周长为13,则$△ABC$的周长为19.

答案： 12. 19

13. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC$和$∠ACB$的平分线相交于点D,过点D作$EF// BC$,交AB,AC于点E,F,若$BE+CF=10$,则$EF=$10.

答案： 13. 10

14. 如图,$AB// CD$,BP和CP分别平分$∠ABC$和$∠DCB$,AD过点P,且与AB垂直.若$AD=8$,则点P到BC的距离是____4.

答案： 14. 4

15. 如图,在$△ABC$中,$AB=AC,AE⊥BE$于点E,且$2BE=BC$,若$∠EAB=20^{\circ }$,则$∠BAC=$$40^{\circ}$.

答案： 15. $40^{\circ}$

16. 如图,$△ABC$是等边三角形,点D为AC边上一点,以BD为边作等边$△BDE$,连接CE.若$CD=1,CE=3$,则$BC=$4.

答案： 16. 4

17. 在等腰$△ABC$中,$AD⊥BC$交直线BC于点D,若$2AD=BC$,则$△ABC$的顶角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$.

答案： 17. $30^{\circ}$或$150^{\circ}$或$90^{\circ}$

18. (8分)画出下列以l为对称轴的轴对称图形.

答案：
18. 如图所示.

19. (12分)如图,已知$△ABC$中,$AB=AC$,BD和CE分别是$∠ABC$和$∠ACB$的平分线,且相交于O点.
(1)试说明$△OBC$是等腰三角形;
证明: 在$\triangle ABC$中, $\because AB = AC$, $\therefore \angle ABC = \angle ACB$. $\because BD$, $CE$分别平分$\angle ABC$, $\angle ACB$, $\therefore \angle ABD = \angle OBC$, $\angle ACE = \angle OCB$, $\therefore \angle OBC = \angle OCB$, $\therefore OB = OC$, $\therefore \triangle OBC$为等腰三角形.
(2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
解: 直线$OA$垂直平分线段$BC$. 理由: 在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ AO = AO, \\ BO = CO, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOC(SSS)$. $\therefore \angle BAO = \angle CAO$, $\therefore AO$平分$\angle BAC$. $\therefore$直线$OA$垂直平分线段$BC$.

答案： 19.
(1) 证明: 在$\triangle ABC$中, $\because AB = AC$, $\therefore \angle ABC = \angle ACB$. $\because BD$, $CE$分别平分$\angle ABC$, $\angle ACB$, $\therefore \angle ABD = \angle OBC$, $\angle ACE = \angle OCB$, $\therefore \angle OBC = \angle OCB$, $\therefore OB = OC$, $\therefore \triangle OBC$为等腰三角形.
(2) 解: 直线$OA$垂直平分线段$BC$. 理由: 在$\triangle AOB$和$\triangle AOC$中, $\left\{\begin{array}{l} AB = AC, \\ AO = AO, \\ BO = CO, \end{array}\right.$ $\therefore \triangle AOB \cong \triangle AOC(SSS)$. $\therefore \angle BAO = \angle CAO$, $\therefore AO$平分$\angle BAC$. $\therefore$直线$OA$垂直平分线段$BC$.

20. (12分)如图,过等边$△ABC$的边AB上一点P,作$PE⊥AC$于点E,Q为BC延长线上一点,且$PA=CQ$,连接PQ交AC边于点D.
(1)求证:$PD=DQ$;
(2)若$△ABC$的边长为1,求DE的长.

答案：
20.
(1) 证明: 如图, 过$P$作$PF // BC$交$AC$于点$F$, 则$\angle AFP = \angle ACB$, $\angle FPD = \angle Q$, $\angle PFD = \angle QCD$. $\because \triangle ABC$为等边三角形,

$\therefore \angle A = \angle ACB = 60^{\circ}$, $\therefore \angle A = \angle AFP = 60^{\circ}$, $\therefore \triangle APF$是等边三角形. $\because AP = PF$, $AP = CQ$, $\therefore PF = CQ$, $\therefore \triangle PFD \cong \triangle QCD$, $\therefore PD = DQ$.
(2) 解: $\because \triangle APF$是等边三角形, $PE \perp AC$, $\therefore AE = EF$. $\because \triangle PFD \cong \triangle QCD$, $\therefore CD = DF$, $DE = EF + DF = \frac{1}{2}AC$. 又$\because AC = 1$, $\therefore DE = \frac{1}{2}$.