《2025年假期面对面南方出版社八年级数学沪科版》

13.(黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则$∠BED=$45$^{\circ }$.

答案： 45

14.(河北中考)正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍,则$n=$12.

答案： 12

15.(青海中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知$∠BOC=120^{\circ },DC=3cm$,则AC的长为6cm.

答案： 6

16.(凉山州中考)如图,$□ ABCD$的对角线AC,BD相交于点O,$OE// AB$交AD于点E.若$OA=1,\triangle AOE$的周长等于5,则$□ ABCD$的周长等于____16.

答案： 16

17.(北京中考)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如图2、图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为____12.

答案： 12

18.(10分)(绍兴中考)如图,点E是$□ ABCD$的边CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2,求CF的长;2
(2)若$∠BAF=90^{\circ }$,试添加一个条件,并写出$∠F$的度数.答案不唯一,如添加条件$∠B=50^{\circ }$,则$∠F=40^{\circ }$

答案： 解:
(1) $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形, $ \therefore A D / / C F, \therefore \angle D A E= $ $ \angle F, \angle D=\angle E C F $. $ \because E $ 是 $ C D $ 的中点, $ \therefore D E=C E, \therefore \triangle A D E \cong $ $ \triangle F C E . \therefore C F=A D=2 $.
(2) 答案不唯一, 如 $ \angle B=50^{\circ} $, 得 $ \angle F=40^{\circ} $.

19.(10分)(北京中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,点F,G在AB上,$EF⊥AB,OG// EF$.
(1)求证:四边形OEFG是矩形;
(2)若$AD=10,EF=4$,求OE和BG的长.

(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形, 对角线 $ A C $ 与 $ B D $ 相交于点 $ O $, $ \therefore O $ 为 $ B D $ 的中点. 又 $ \because E $ 是 $ A D $ 的中点, $ \therefore O E / / A B . \because E F \perp A B $, $ \therefore E F \perp O E $. 又 $ \because O G / / E F, \therefore O G \perp A B, \therefore $ 四边形 $ O E F G $ 是矩形.
(2) 解: $ \because AC \perp BD $, 点 $ E $ 是 $ A D $ 的中点, 且 $ AD=10, \therefore A E=O E= $ $ \frac{1}{2} A D= $5. $ \because \angle E F A=90^{\circ}, E F=4, \therefore A F=\sqrt{A E^{2}-E F^{2}}= $ $ \sqrt{5^{2}-4^{2}}=3 $. $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为菱形, $ \therefore A B=A D=10 $. $ \because $ 四边形 $ O E F G $ 为矩形, $ \therefore F G=O E=5 . \therefore B G=A B-A F-F G=10-3-5= $2.

答案：
(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 是菱形, 对角线 $ A C $ 与 $ B D $ 相交于点 $ O $, $ \therefore O $ 为 $ B D $ 的中点. 又 $ \because E $ 是 $ A D $ 的中点, $ \therefore O E / / A B . \because E F \perp A B $, $ \therefore E F \perp O E $. 又 $ \because O G / / E F, \therefore O G \perp A B, \therefore $ 四边形 $ O E F G $ 是矩形.
(2) 解: $ \because A C \perp B D $, 点 $ E $ 是 $ A D $ 的中点, 且 $ A D=10, \therefore A E=O E= $ $ \frac{1}{2} A D=5 $. $ \because \angle E F A=90^{\circ}, E F=4, \therefore A F=\sqrt{A E^{2}-E F^{2}}= $ $ \sqrt{5^{2}-4^{2}}=3 $. $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为菱形, $ \therefore A B=A D=10 $. $ \because $ 四边形 $ O E F G $ 为矩形, $ \therefore F G=O E=5 . \therefore B G=A B-A F-F G=10-3-5=2 $.

20.(12分)(长沙中考)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AD,CD上,且$DE=CF$,AF与BE相交于点G.
(1)求证:$BE=AF$;
(2)若$AB=4,DE=1$,求AG的长.

(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为正方形, $ \therefore A D=D C=A B, \angle B A E= $ $ \angle A D F=90^{\circ} . \because D E=C F, \therefore A D-D E=D C-C F $, 即 $ A E=D F $. 在 $ \triangle B A E $ 和 $ \triangle A D F $ 中, $ \because \left\{\begin{array}{l}A B=D A, \\ \angle B A E=\angle A D F, \\ A E=D F,\end{array}\right. \therefore \triangle B A E \cong \triangle A D F $. $ \therefore B E=A F $. (2) 解: 由 (1) 得 $ \angle E B A=\angle F A D, \therefore \angle G A E+\angle A E G= $ $ \angle A B E+\angle A E G=90^{\circ}, \therefore \angle A G E=90^{\circ} . \because A B=4, D E=1, \therefore B E= $ $ \sqrt{A B^{2}+A E^{2}}=\sqrt{4^{2}+(4-1)^{2}}=5 $. 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B E $ 中, $ \frac{1}{2} A B \cdot A E= $ $ \frac{1}{2} B E \cdot A G, \therefore A G=\frac{4 × 3}{5}=$$\frac{12}{5}$.

答案：
(1) 证明: $ \because $ 四边形 $ A B C D $ 为正方形, $ \therefore A D=D C=A B, \angle B A E= $ $ \angle A D F=90^{\circ} . \because D E=C F, \therefore A D-D E=D C-C F $, 即 $ A E=D F $. 在 $ \triangle B A E $ 和 $ \triangle A D F $ 中, $ \because \left\{\begin{array}{l}A B=D A, \\ \angle B A E=\angle A D F, \\ A E=D F,\end{array}\right. \therefore \triangle B A E \cong \triangle A D F $. $ \therefore B E=A F $.
(2) 解: 由
(1) 得 $ \angle E B A=\angle F A D, \therefore \angle G A E+\angle A E G= $ $ \angle A B E+\angle A E G=90^{\circ}, \therefore \angle A G E=90^{\circ} . \because A B=4, D E=1, \therefore B E= $ $ \sqrt{A B^{2}+A E^{2}}=\sqrt{4^{2}+(4-1)^{2}}=5 $. 在 $ \mathrm{Rt} \triangle A B E $ 中, $ \frac{1}{2} A B \cdot A E= $ $ \frac{1}{2} B E \cdot A G, \therefore A G=\frac{4 \times 3}{5}=\frac{12}{5} $.